首先考察一个事情，\(c \le 4000000\) 咋做。
简单的构造，填入 \(0, 1, 2, ..., lim\)，在中间贪心的加入一些 \(inf\)，由于 \(0\) 后面插入 \(inf\) 只会使得答案加 \(1\)，按照这个增长规模，所有 \(c \le 4000000\) 的解都能被我们找到。
再思考为啥给你一个 \(c \le 8000000\)，这是翻倍，如果只是 \(\times 2\)，可以在整个串前面加入一个 \(inf\)，但是是奇数的话就不是很好，将 \(inf\) 改成 \(0\) 可以添加自身的一个 \(1\) 从而改变奇偶性。
那么这启示我们往原本的串前面加东西，你可以加入一连串 \(inf\) 使得答案翻 \(k\) 倍，但当 \(c\) 是某些质数 \(+ 1\) 时这个方法很容易失效，因为我们调整的单位元不为 \(1\)，思考将某些 \(inf\) 改成 \(0\)，一个长度为 \(p\) 的连续段则会贡献 \(\frac{p(p + 1)}{2}\)，可以通过调整 \(inf\) 个数与后面长度的比例来控制贡献量一定可以补充到缺失的部分中，由于改的多了不如新加一个 \(inf\)，所以这个比值大概是 \(1 : 2\)，可以实现一下。
我不想写这托大分了。