前言（观前叠甲）
本文是根据自己笔记 + 大量网上资料（多数是OIwiki） + AI完成，纯猎奇，自认为已经很易懂了，如有数学大佬则\(Orz\)
部分公式
\(I.\sum\limits_{i=0}^{n} i*\binom{n}{i} = n * 2^{n - 1}\)
证明（组合意义）：原式即为求解一个集合\(A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\)的所有子集元素个数。
前置芝士：\(\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = 2^n\)
左侧我们可以这样看：
包含1个元素的子集有\(\binom{n}{1}\)个，元素有\(\binom{n}{1}\)个
包含2个元素的子集有\(\binom{n}{2}\)个，元素有\(2*\binom{n}{2}\)个
\(\cdots\)
包含n个元素的子集有\(\binom{n}{n}\)个，元素有\(n\binom{n}{n}\)个
所以包含\(i\)个元素的子集有\(\binom{n}{i}\)个，元素有\(i*\binom{n}{i}\)个
总个数就是\(\sum\limits_{i=0}^{n} i*\binom{n}{i}\)个
右侧我们可以这样看：
包含\(a_1\)的子集：剩下的\(n - 1\)个元素可以选择选/不选，由前置芝士，方案数为\(2^{n-1}\)。
同理，包含\(a_2\)的子集，包含\(a_3\)的子集，\(\cdots\)，包含\(a_n\)的子集方案数都为\(2^{n-1}\)。
所以总数为\(n * 2 ^ {n - 1}\)种
由此我们证明了式\(I\)的正确性。