关于欧拉公式，通常会用泰勒展开的方式得到。但本人认为不够直观，并找到了漫士沉思录给出的一个特别直观的理解：
【漫士科普】如何最简单且本质地理解欧拉公式？
简单来说，设 $$ f(x)=e^{ix} $$
那么 $$ f'(x)=ie^{ix} = if(x) $$
根据复数的乘法可以知道， $ if(x) $ 是 $ f(x) $ 逆时针旋转90度。
我们在复平面上找到 $ f(0) $ ，然后观察其变化量 $ if(0) $ ，可以看出来这就是质点做圆周运动的一个瞬间。并且往后推演，每时每刻 $ f(x) $ 的变化量都是垂直于 $ f(x) $ 到圆心的线段，因此可以知道这其实就是在作圆周运动。
那么我们直接令 $$ f(x) = cos(x) + isin(x) $$
求导后得到 $$ f'(x) = -sin(x) + icos(x) = i (cos(x) + isin(x)) = if(x) $$ 符合一开始的求导结果。
当然这不是严谨的推导，目的是建立起一个对欧拉公式的直观印象，至少对我个人来说，知识intuision是非常重要的