【题目来源】
AcWing：883. 高斯消元解线性方程组 - AcWing题库
【题目描述】
输入一个包含 \(n\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组。
方程组中的系数为实数。
求解这个方程组。
下图为一个包含 \(m\) 个方程 \(n\) 个未知数的线性方程组示例：
【输入】
第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含 \(n+1\) 个实数，表示一个方程的 \(n\) 个系数以及等号右侧的常数。
【输出】
如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个未知数的解，结果保留两位小数。
注意：本题有 SPJ，当输出结果为 0.00 时，输出 -0.00 也会判对。在数学中，一般没有正零或负零的概念，所以严格来说应当输出 0.00，但是考虑到本题作为一道模板题，考察点并不在于此，在此处卡住大多同学的代码没有太大意义，故增加 SPJ，对输出 -0.00 的代码也予以判对。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。
如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。
【输入样例】
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
【输出样例】
1.00
-2.00
3.00
【算法标签】
《AcWing 883 高斯消元解线性方程组》 #线性代数# #高斯消元#
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 110; // 最大方程数和变量数
const double eps = 1e-6; // 浮点数精度阈值int n; // 方程数/变量数
double a[N][N]; // 增广矩阵，a[i][n]存储常数项/*** 高斯消元法求解线性方程组* @return 0:有唯一解, 1:有无穷多解, 2:无解*/
int gauss()
{int c, r; // c:当前列, r:当前行// 遍历每一列进行消元for (c = 0, r = 0; c < n; c++){int t = r; // 寻找当前列绝对值最大的行// 在剩余行中寻找当前列绝对值最大的元素for (int i = r; i < n; i++){if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])){t = i;}}// 如果当前列全为0，跳过该列if (fabs(a[t][c]) < eps){continue;}// 将绝对值最大的行交换到当前行for (int i = c; i <= n; i++){swap(a[t][i], a[r][i]);}// 将当前行的主元系数化为1for (int i = n; i >= c; i--){a[r][i] /= a[r][c];}// 用当前行消去下面行的当前列for (int i = r + 1; i < n; i++){// 如果该行当前列不为0，进行消元if (fabs(a[i][c]) > eps){for (int j = n; j >= c; j--){a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];}}}r++; // 处理下一行}// 检查解的情况if (r < n){// 检查是否存在矛盾方程（0 = 非0）for (int i = r; i < n; i++){if (fabs(a[i][n]) > eps){return 2; // 无解：存在矛盾方程}}return 1; // 有无穷多解：有效方程数小于变量数}// 回代求解for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i + 1; j < n; j++){// 将已知的解代入当前方程a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];}}return 0; // 有唯一解
}int main()
{// 输入方程数/变量数cin >> n;// 输入增广矩阵for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n + 1; j++){cin >> a[i][j];}}// 调用高斯消元法求解int t = gauss();// 输出结果if (t == 0){// 输出唯一解for (int i = 0; i < n; i++){printf("%.2lf\n", a[i][n]);}}else if (t == 1){// 输出无穷多解cout << "Infinite group solutions" << endl;}else{// 输出无解cout << "No solution" << endl;}return 0;
}
【运行结果】
3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00
1.00
-2.00
3.00