原神概率模型假说

众所周知，原神是一款由米哈游自主研发的开放世界冒险游戏

在原神等游戏中我们常常被抽卡概率所困扰，以至于人们研究出了种种玄学抽卡不歪的方法，在此我也提出一个猜想：

从米哈游的角度考虑，他肯定想要赚取更多的钱，所以他就要收割那些充钱多的人的钱。我们再站在玩家角度，正常想法就是卡池开了赶紧去抽卡，所以卡池第一天肯定是流水最高的一天，也就是说如果我把卡池第一天小保底歪的概率调低，然后再通过剩下几天把概率调高来平衡至 50%，这样就可以赚到更多的钱。

就此，我们来建立数学模型计算一下：

首先为了计算的方便我们简化模型，我们假设出金的概率是不到80抽均为 0.6%，到 80 抽直接变成 100%。卡池抽数从第二天开始服从反比例函数图像。(像下面这个这么抽象)

那么我们首先要计算一下调高的概率，我们假设第一天小保底不歪的概率是 p，我们需要计算一下第一天的抽数和其余天的抽数，假设第一天的全服总抽数是 \(k\)：

\[\int_{1}^{21}\frac{k}{x}{\rm d}x=(\ln21-\ln1)k=k\ln21 \]

那么其余20天的总抽数就是 \(k\ln21\)。

我们容易列出方程：

\[k\times p+k\ln21\times\Phi =k\times(1+\ln21)\times50\% \]

\[\Phi=\frac{1+\ln21-2p}{2\ln21} \]

(字母是随便找的不要在意)

然后我们要算出多少抽会出现一次小保底，容易发现，一个up金有且仅有一个小保底，所以只需计算平均up金抽数即可。

我们设 \(f(p)\) 为在小保底不歪的概率为 \(p\)，没抽出金概率为 \(p_1\)，保底是 \(x\) 抽的前提下，每个up 金的抽数期望。我们能够得出一个显然的式子：

\[f(p)=\sum_{i=1}^{x-1}p_1(1-p_1)^{i-1}(p i+(1-p)(\sum_{j=1}^{x-1}p_1 (1-p_1)^{i-1} (i+j)+(1-p_1)^{x-1}(i+x)))+(1-p_1)^{x-1}(px+(1-p)\sum_{i=1}^{x-1}p_1(1-p_1)^{i-1}(x+i)+(1-p_1)^{x-1}\times 2x) \]

然后知道了一个 up 金的平均抽数之后，我们就可以开始计算了，米哈游多赚到的钱：

\[W=k(\eta_1\times(\frac{f(p)}{f(0.5)}-1)+\ln21\times\eta_2\times(\frac{f(\Phi)}{f(0.5)}-1)) \]

其中 \(\eta_1\) 和 \(\eta_2\) 分别表示第一天和非第一天的充值抽数比例。

最后我们代数进去看一下：

我们假设 p=0.4，\(\eta_1=0.01\)，\(\eta_2=0.0001\)，带入得：

\[\Phi=0.53284 \]

\[f(0.5)=95.52764755 \]

\[f(0.4)=101.8961574 \]

\[f(\Phi)=f(0.53284)=93.43622892 \]

\[W=k(\eta_1\times(\frac{f(p)}{f(0.5)}-1)+\ln21\times\eta_2\times(\frac{f(\Phi)}{f(0.5)}-1))=0.0105600191 k \]

这说明了什么？

这说明了在这种假设之下，米哈游开卡池第一天每有一抽就平均多赚到一分钱，在国内外海量玩家的加持之下这就将是一个天文数字。

由于以上均为本人自己在草稿纸上发电所作，所以并没有人帮我验证中间有没有算错或者别的错误，如有错误请向我反应，对于每个错误我愿意支付 0 美元的报酬。