11、Z变换与差分方程求解全解析

Z变换与差分方程求解全解析

1. Z变换基础与实例

1.1 Z变换定义与基本求解

Z变换是分析离散时间信号和系统的重要工具。考虑一个差分方程 (x(n + 2)−3x(n + 1) + 2x(n) = u(n))，假设所有初始条件为零。对该方程两边取Z变换，得到 (X(z) [z^2 −3z + 2] = \frac{z}{z - 1})。

通过一系列计算，如将 (\frac{X(z)}{z}) 进行部分分式展开：
(\frac{X(z)}{z} = \frac{A_{12}}{(z - 1)^2} + \frac{A_{11}}{(z - 1)} + \frac{B}{(z - 2)})
其中 (A_{12} = -1)，(A_{11} = -1)，(B = 1)。
进而得到 (X(z) = \frac{-z}{(z - 1)^2} + \frac{-z}{(z - 1)} + \frac{z}{(z - 2)})，最终求得 (x(n) = -nu(n) - u(n) + (2)^nu(n))。

1.2 不同信号的Z变换求解

1.2.1 信号 (x_1(n)) 和 (x_2(n)) 的Z变换

对于 (x_1(n) = (\frac{1}{4})^nu(n - 1)) 和 (x_2(n) = [1 + (\frac{1}{2})^n]u(n))，利用缩放和时移性质求解Z变换。
- (X_1(z) = \frac{1}{4z - 1})
- (X_2(z) = \frac{4z^2 - 3z}{(z - 1)(2z - 1)})

1.2.2