令 \(A(n, x, y)\) 表示长度为 \(n\) 的排列中，有 \(x\) 个升高和 \(y\) 个逆升高（即逆排列有 \(y\) 个升高）的排列数量。
根据组合恒等式，我们有如下关系：
\[\binom{uv + n - 1}{n} = \sum_{x=0}^{n-1} \sum_{y=0}^{n-1} A(n, x, y) \binom{u+x}{n} \binom{v+y}{n}
\]
我们考虑反解出 \(A(n, x, y)\)。
令 \(x' = n - x, y' = n - y\)，并代入整数 \(u=i, v=j\) (\(1 \le i, j \le n\))，我们可以构建一个线性方程组。
定义矩阵 \(L, C, \mathcal{A}\) 如下：
- \(L_{ij} = \binom{ij + n - 1}{n}\)，其中 \(1 \le i, j \le n\)。
- \(C_{ik} = \binom{n + i - k}{n}\)，其中 \(1 \le i, k \le n\)。
- \(\mathcal{A}_{x'y'} = A(n, n-x', n-y')\)。
上述恒等式可以表示如下形式：
\[L = C \cdot \mathcal{A} \cdot C^T
\]
我们的目标是求 \(\mathcal{A}\)，因此有：
\[\mathcal{A} = C^{-1} \cdot L \cdot (C^T)^{-1} = C^{-1} \cdot L \cdot (C^{-1})^T
\]
矩阵 \(C\) 是一个下三角矩阵，其逆矩阵 \(C^{-1}\) 有显式的封闭形式：
\[(C^{-1})_{ij} = (-1)^{i-j} \binom{n+1}{i-j}
\]
（当 \(i < j\) 时为 0）。