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群论入门

news 2026/3/27 7:02:39

一课一度的抄课件环节。

群

定义

群是一种代数系统，定义一个群 $(G,\oplus )$，满足以下条件：

$\oplus $ 是一个 满足结合律的二元运算。
$G$ 是一个集合，存在单位元 $e$。
$a\in G\implies a^{-1}\in G,a\oplus a^{-1}=e$。
群 $(G,\oplus )$ 运算封闭。
也即：
1. $a\in G,b\in G\implies a\oplus b\in G$
2. $a\in G\implies a^{-1}\in G$
3. $a\oplus e=e\oplus a=a$

运算 $\oplus $ 不需要满足交换律。

特别地，若运算 $\oplus $ 满足交换律，则称为 交换群。

阶

当群中只有有限多个元素时，群的阶是元素个数，也就是 $|G|$。
元素 $x$ 的阶定义为最小的正整数 $k$ 满足 $x^k=e$，$x^k$ 指的是连续 $k$ 个 $x$ 做运算 $\oplus $。
对于无限群而言，元素的阶不一定存在，例如加法运算定义的整数群，其单位元为 $0$。

子群

定义

定义群 $(H,\oplus)$ 是群 $(G,\oplus)$ 的子群，当且仅当满足以下条件：

$H\subseteq G$。
$(H,\oplus)$ 是一个合法的群，并且 $e\in H$。

性质

设 $(H,\oplus ),(K,\oplus )$ 都是群 $(G,\oplus )$ 的子群。

$(H\cap K,\oplus )$ 是 $(G,\oplus )$ 的子群。
$(H\cup K,\oplus )$ 是 $(G,\oplus )$ 的子群当且仅当该运算发生退化。

也即 $K\subseteq H$ 或者 $H\subseteq K$。

判定

设 $H\subseteq G,H\neq \varnothing$，则 $(H,\oplus)$ 是 $(G,\oplus )$ 的子群，当且仅当：

$\forall a\in H,b\in H,a\oplus b\in H,a^{-1}\in H$。

推论：

该条件可以等价转述为：$\forall a,b\in H,a\oplus b^{-1}\in H$。
1. $a\oplus a^{-1}=e\in H$
2. $e\oplus a^{-1}=a^{-1}\in H$
3. $a\oplus (b^{-1})^{-1}=a\oplus b\in H$
若 $H$ 是 $G$ 的非空有穷子集，则可以等价描述为 $a,b\in H\implies a\oplus b\in H$，可以略去求逆。

一些特殊的子群

设群 $(G,\oplus )$。

定义群 $(S(a),\oplus )$，其中 $S(a)=\lbrace a^i|i\in \Z\rbrace,a\in G$。

则 $(S(a),\oplus )$ 为 $(G,\oplus )$ 的子群，称其为 $a$ 的生成子群，$a$ 为生成元。

值得指出的是，这是一个循环群，其定义在后面。
定义群 $(N(a),\oplus )$，其中 $N(a)=\lbrace x|x\in G,a\oplus x=x\oplus a\rbrace$。

显然也是 $(G,\oplus )$ 的子群，称 $N(a)$ 是 $G$ 关于 $a$ 的正规化子。
设 $(H,\oplus )$ 为 $(G,\oplus )$ 的子群，对于 $x\in G$，定义子群 $(xHx^{-1},\oplus)$，其中 $xHx^{-1}=\lbrace x\oplus h\oplus x^{-1}|h\in H\rbrace$ 。

称 $(xHx^{-1},\oplus)$ 为 群 $(H,\oplus )$ 与 $x$ 的共轭子群。

一些特殊的群

循环群

$G=S(a)=\lbrace a^i|i\in \Z\rbrace$，在运算 $\oplus $ 意义下，则称 $(G,\oplus )$ 为循环群，$a$ 为生成元
$n$ 阶循环群与在模 $n$ 意义下的加法剩余系同构

置换群

定义函数 $f$，其定义域和值域均为 $G$，且函数 $f$ 为一个双射函数，则称函数 $f$ 为 $G$ 上的一个置换。

特别地，若 $G $ 是一个非空有穷集，将元素分别标号为 $1\sim |G|$，则可以将置换 $f$ 看做一个排列。

也即一个置换可以用一个大小为 $|G|$ 的排列表示。

定义置换的合成（$\oplus$ 运算）。

设 $f$ 是一个置换，$g$ 是一个置换，定义置换 $f\oplus g$ 为：

$(f\oplus g)(x)=f(g(x)),x\in G$

定义置换群：

设 $S_n$ 为所有的 $n$ 元排列的集合，设 $\oplus $ 为置换的复合运算，称群 $(S_n,\oplus )$ 为$n$ 元对称群。
对于 $(S_n,\oplus )$ 的子群，我们称为 $n$ 元置换群。

群的陪集分解

设 $(G,\oplus )$ 为一个群，设子群 $(H,\oplus)$，$a\in G$，定义 $H[a]=\lbrace h\oplus a|h\in H\rbrace$，则称 $H[a]$ 是子群 $H$ 在 $G$ 中关于 $a$ 的右陪集。（类似可以定义左陪集 $[a]H$。

注意 $H[a]$ 只是一个集合。

性质：

$H[e]=H$。
$\forall a\in G$，$H[a]$ 与 $H$ 等势。
等势：称集合 $S,T$ 等势，当且仅当可以构造两集合间的双射。
- 一个有穷一个无穷显然不等势。
- 对于两个有穷集，当且仅当两集合大小相同。
- 对于两个无穷集，能够找到双射即等势，例如正偶数集和正整数集。
若 $H$ 为有限集，则 $H[a]$ 与 $H$ 同阶。
$\forall a,b\in G,a\in H[b]\iff H[a]=H[b]\iff a\oplus b^{-1}\in H$

证明：

$a\in H[b]\implies \exist h,h\oplus b=a\implies h=a\oplus b^{-1}\in H$

$H[a]=\lbrace x\oplus a|x\in H\rbrace=\lbrace (x\oplus h)\oplus b|x\in H\rbrace=\lbrace x\oplus b|x\in H\rbrace$。

证毕。
根据上一条，可以将 $H[a],a\in G$ 划分等价类，每一类的大小都恰为 $|H|$，恰有 $\frac{|G|}{|H|}$ 个等价类。

此为拉格朗日定理：设 $(G,\oplus )$ 是有限群，$(H,\oplus)$ 是其子群，则 $G$ 的阶一定是 $H$ 的阶的倍数，具体倍数为等价类个数。

群的共轭类分解

设群 $(G,\oplus )$，定义共轭关系：

$a\in G,x\in G,b=x\oplus a\oplus x^{-1}$，称呼 $b$ 是 $a$ 关于 $x$ 的共轭。

显然 $b\in G$。

共轭关系也是等价关系，可以进行共轭类分解。

性质：

$a$ 所处共轭类 $T(a)$ 满足 $|T(a)|=\frac{|G|}{|N(a)|}$。

任取 $x,y\in G$，设 $x\oplus a\oplus x^{-1}=y\oplus a\oplus y^{-1}$。

\[\begin{aligned} &x^{-1}\oplus x\oplus a\oplus x^{-1}\oplus y=x^{-1}\oplus y\oplus a\oplus y^{-1}\oplus y\\\iff &a\oplus x^{-1}\oplus y=x^{-1}\oplus y \oplus a\\ \iff &x^{-1}\oplus y\in N(a)\\ \iff &N(a)[x]=N(a)[y] \end{aligned} \]
最后那个是陪集分解。

这说明 $x,y$ 在 $G$ 关于 $N(a)$ 的陪集分解中处于同一等价类当且仅当它们表达同一个共轭关系。

这就说明了 $|T(a)|\times |N(a)|=|G|$。

轨道-稳定子群定理

定义 $A$ 为状态集合（此处的状态指一个 $n$ 元向量）设 $a\in A$。

设 $(G,\oplus )$ 为一个 $n$ 元有穷置换群。

此处一个状态 $a$ 与一个 $g\in G$ 做置换 $(g\oplus a)(x)=g(a(x))$。

定义：

$G^a=\lbrace g|g\in G,g\oplus a=a\rbrace$ 称其为 $a$ 的稳定子群。
$G(a)=\lbrace g\oplus a|g\in G\rbrace$ 称其为 $a$ 的轨道。
$A^g=\lbrace a|a\in A,g\oplus a=a\rbrace$

轨道-稳定子群定理： $|G|=|G^a||G(a)|$。

设 $x,y\in G$，有：

\[x\oplus a=y\oplus a\iff a=x^{-1}\oplus (y\oplus a)\iff x^{-1}\oplus y\in G^a\iff G^a[x]=G^a[y] \]

这就说明 $|G(a)|$ 是 $G$ 关于 $G^a$ 的陪集分解中的等价类数量。

Burnside 引理

设 $|A/G|$ 为本质不同的状态数量（可以通过若干置换转化的排列本质相同）。

设集合 $A/G$ 为每个本质不同的状态选择一个代表组成的集合，显然 $G(a)$ 中的状态全部本质相同。

\[\begin{aligned} &|G^a|=\frac{|G|}{|G(a)|}\\ \iff &\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\sum_{a\in A}\frac{1}{|G(a)|}\\ \iff &\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\sum_{a\in A/G}\sum_{b\in G(a)}\frac{1}{|G(a)|}\\ \iff &\sum_{a\in A}|G^a|=|G|\sum_{a\in A/G}1\\ \iff &\sum_{g\in G}|A^g|=|G|\times |A/G|\\ \iff &|A/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|A^g| \end{aligned} \]