本文主要初步介绍均值不等式及其二元意义下的证明，并提供了一个常见应用。最后简单描述了均值不等式链（即 HM-GM-AM-QM 不等式）
均值不等式，简单来说其描绘了一组非负整数的算术平均数和几何平均数的大小关系。常用的有二元意义下的均值不等式和一般均值不等式。
二元形式
描述
给定整数 $ a, b $ 满足 $ a \geq 0, b \geq 0 $，则存在
即两者几何平均数小于等于算术平均数。
注意一般 $ a, b $ 均为非负数，主要为了避免几何平均数为虚数。
证明
可以利用几何平均数在平面直角坐标系内的图像证明。
我们以 $ a + b $ 为直径作一个半圆，则算术平均数即为该半圆的半径。我们把这个半圆的直径分成两部分，满足其中一部分长度为 $ a $，过该点作直径的垂线，根据射影定理，容易得到该垂线长度为 $ \sqrt{ab} $，即 $ a, b $ 的几何平均数。
因为该垂线的长度一定严格小于等于该半圆半径，所以 $ a, b $ 几何平均数一定严格小于等于算数平均数，得证。
一般形式
得出二元形式后，我们很容易推广到均值不等式的一般形式：
对于 $ n $ 个非负整数 $ a_1, a_2, a_3, ... , a_n $，存在 $ ^n\sqrt{a_1a_2a_3...a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n}{n} $。
这个推广是正确的，大致有三种方法可以证明：反向归纳法、琴生不等式法（凸函数性质）、排序法。
其中前两种方法证明较为复杂，读者自证也比较难，这里主要说第三种，这是一种比较巧妙的构造证明。
证明
假设存在一组正数序列，其中所有数互不相等。那么一定存在最大数 $ M $ 和最小数 $ m $。我们同时将它们替换为 $ \frac{M + m}{2} $，此时序列的总和不变，自然平均数不变。根据二元均值不等式，存在 $ M \times m \leq (\frac{M + m}{2})^2 $。换言之，我们的调整使得这组序列的总乘积变大，几何平均数变大。
经过有限次这种调整以后，所有数字都会相等，并且在这个过程中，算术平均数 $ A $ 保持不变，而几何平均数 $ G $ 不断增大。又因为在所有数字相等以后，$ A = G $，所以在调整过程中，一定存在几何平均数小于等于算术平均数，得证。
其实这个方法还有一个更形象但不是很准确的名字：磨光法 QwQ
容易发现，这种方法的大致思想其实就是构造一个让几何平均数接近算术平均数的过程，然后证明在这个过程结束后几何平均数达到最大，并且此时几何平均数等于算术平均数，那么这个过程中自然几何平均数小于等于算术平均数。
形式化地，为了证明 $ G \leq A $，构造一个操作 $ T $，使得 $ G $ 单调不降且有上界，最终收敛到 $ A $。这是一个很经典的思想。
应用
一个简单的例题。
例 设 $ x > 0 $，求 $ x + \frac{1}{x} $ 的最小值。
由均值不等式得 $ x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \times \frac{1}{x}} $，所以 $ x + \frac{1}{x} \geq 2 $，所以原式最小值为 $ 2 $。
拓展
均值不等式其实是均值不等式链的一部分，它表明，对于正数，存在调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。
至于所谓 HM-GM-AM-QM 不等式，其实就是四种平均数的英文缩写啦。