A
略。
B
最优策略是：我们假设当前数组最小值是 \(mn\)，然后按每一个按扭 \(mn\) 次；如果某一次按按钮不出水，那么之后就再也不按了；按完后如果不够，就剔除已不出水的按钮，然后重复上述过程。
保证必出就是视为我们每一次重复过程时都一定会按到一个已经没有水的按钮。
C
猜结论题。
我们贪心一下：按每一个二元组较小的元素为第一关键字，较大元素第二关键字进行升序排序。
这样还真是对的。因为我们考虑对排序好的数组交换其中相邻两项 \((a_i,b_i)\) 和 \((a_{i+1},b_{i+1})\)（因为组内逆序对确定，我们不妨假设 \(a_i\le b_i,a_{i+1} \le b_{i+1}\)。
我们考虑以下情况：
- \(a_i<a_{i+1},b_i>b_{i+1}\)。那么此时就算交换了，逆序对数也不变；
- \(a_i = a_{i+1}\)：交换逆序对数不会变少；
故上述策略正确。
D
在一个位置 \(i\) 时，我们可以进行如下操作：
- 走向第一个没有走到过的点 \(j(j<i)\)，并获得 \(a_i\)；
- 走向 \(b_i\)；
注意到第一条转移很繁琐，考虑能否简化。
考虑到如果在一个位置 \(i\) 开始不进行第二种转移，那么我们获得的值是 \(\sum \limits_{1\le j \le i}a_j-\sum \limits_{i\in S}a_i\)，其中 \(S\) 是 \([1,i)\) 中被访问过的节点集合。
注意到前面的式子是前缀和，容易求得，那么我们转换思路，记录 \(f_i=\sum_{i \in S}a_i\)。
那么我们处理到位置 \(i\) 时，它的 \(f\) 值应该是 \([i,n]\) 中 \(f\) 最小值，因为第一种转移不额外消耗代价，第二种转移只有在 \([1,i)\) 内做的可能是有效的。
接下来就是线段树模板题了。
E
很奇怪的限制：图上只有环，且所有环的长度为 \(k\) 的倍数。
转化：图上任意点对 \((i,j)\) 满足所有从 \(i\) 到 \(j\) 的路径长度模 \(k\) 意义下相等。
那么，我们在图上任取一点 \(x\)，钦定其的颜色 \(c_x \in [0,k)\)，然后给其相邻的点染色 \(c_x+1 \bmod k\)。那么我们连边时只需要保证颜色为 \(c_x\) 的点连向颜色 \(c_x+1 \bmod k\) 的点即可。判断时只需要判断当前图每一个颜色 \(c\) 的数量和另一个图中 \(c+1 \bmod k\) 的颜色数量是否相同急了。
然后因为我们只关心相对大小，所以我们可以只枚举其中一个图的初始颜色。