在坐标系中进行量的变换应该左乘还是右乘
- 如果要求 \(i+1\) 坐标系中的量，就需要\(i\)坐标系相对于 \(i+1\)的旋转矩阵乘以 \(i\) 坐标系中的量
形式化地表示如下：
\[{}^{i+1}\mathbf{v} = {}^{i+1}R_{i} \cdot {}^{i}\mathbf{v}
\]
- 左边：目标是将向量 \(\mathbf{v}\) 表达到 \({i+1}\) 坐标系中。
- 右边：
\({}^{i}\mathbf{v}\)：原本是在 \({i}\) 坐标系下表达的向量
\({}^{i+1}R_{i}\)：是从 \({i}\) 坐标系到 \({i+1}\) 坐标系的旋转矩阵（即 \({i}\) 坐标系相对于 \({i+1}\)）
记住：旋转矩阵右乘一个向量，就是把该向量“表达到旋转矩阵的坐标系”下。
- 如果要将 \({i+1}\) 坐标系中的量转换到 \({i}\) 坐标系中表示，是要乘以 \({i+1}\) 坐标系相对于 \({i}\) 坐标系的旋转矩阵
形式化地表示如下：
\[{}^{i}\mathbf{v} = {}^{i}R_{i+1} \cdot {}^{i+1}\mathbf{v}
\]
- 这是将\({i+1}\)坐标系下的向量变换到\({i}\)坐标系中
- \({}^{i}R_{i+1}\)：是 \({i+1}\) 坐标系相对于 \({i}\) 坐标系的旋转矩阵
🔷 旋转矩阵记法：
\({}^{B}R_{A}\) - 上标 \(B\) ：目标坐标系（你希望最终在哪个坐标系下表示）
- 下标 \(A\) ：当前坐标系（你当前的向量在哪个坐标系中）
🔷 向量变换公式：
\({}^{B}\mathbf{v} = {}^{B}R_{A} \cdot {}^{A}\mathbf{v}\) - 把向量 \(\mathbf{v}\) 从 坐标系 \(A\) 转换到坐标系 \(B\) 表达
- 矩阵左乘向量→ 就是将该向量转换到目标坐标系中
核心口诀：
“目标在前，来源在后”
\[{}^{i+1}R_i = \left({}^{i}R_{i+1}\right)^\top = \left({}^{i}R_{i+1}\right)^{-1} \quad \text{或} \quad {}^{i}R_{i+1} = \left({}^{i+1}R_i\right)^\top = \left({}^{i+1}R_i\right)^{-1}
\]
如：
将第6个关节（frame {6}）中的向量或坐标系，转换为第1个关节坐标系 {1} 中的表示
\({}^{1}\mathbf{v}_6 \quad \text{或者} \quad {}^{1}R_6\)
若你已知某个向量 \(\mathbf{v}\) 在坐标系 \({6}\) 中的表达：
\({}^{6}\mathbf{v}\)
把它转换到坐标系 \({1}\) 中表达：
\({}^{1}\mathbf{v} = {}^{1}R_{6} \cdot {}^{6}\mathbf{v}\)