傅里叶变换
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一、三角函数的正交性
定义
在向量空间中：
说明两个向量正交（垂直）。
三角函数也是一样，只不过“内积”变成了积分。
就像：
x轴 ⟂ y轴
三角函数正交性公式
在区间 [−π,π][0,2π]：
1、 sin 与 sin
2 、cos 与 cos
3 、sin 与 cos
所以：
| 函数 | 关系 |
|---|---|
| sin(m) vs sin(n) | 正交 |
| cos(m) vs cos(n) | 正交 |
| sin vs cos | 正交 |
为什么会正交
二、推导过程
1、起点：欧拉公式
2、复指数函数的正交性
上面已经证明了三角函数的正交性，那我们可以带入到里面来显示指数函数的正交性
这里要证明一个东西就是
证明如下：
当
m=n的时候
当
m≠n的时候
那么就有：
这说明：
复指数函数构成一组正交基。
3、傅里叶级数的定义
三角形式定义
若函数周期为 2π2\，则
一般周期 T的形式
如果函数周期为 TTT，定义基本角频率：
系数为：
复指数形式（最常用）
欧拉公式
傅里叶级数可以写成：
4、傅里叶级数几何意义（非常重要）
Fourier Series 的几何意义本质上是：
函数在一组正交基函数上的投影（就像向量在坐标轴上的投影）。
把一个函数看成向量，然后在不同频率的正弦波方向上做投影。