upd.2025.12.20
交比及其应用(1)
本文内容:
- 单比，交比
- 调和点列与调和线束
- 完全四边形
单比，交比
\(P\)点分有向线段\(\overrightarrow{AB}为\overrightarrow{AP}和\overrightarrow{PB}\)，定义单比(simple ratio)\((A,B,P)=\frac{AP}{BP}\)
\(tip:\)由于是有向线段，单比可以为负数
单比是仿射变换的基本不变量,一些把椭圆“压”成圆来做是正确的就是源于仿射变换中单比不变
但是本文并不探究仿射变换，只是随手提及单比,下面是终点内容交比
定义交比(cross ratio)\((A,B;C,D)=\frac{AC*BD}{AD*BC}\)
交比是射影变换中最基本的不变量之一，本文我们主要研究交比等于-1的特殊情况
调和点列与调和线束
如上图，直线上四点\((A,B;C,D)=-1\),我们称交比等于-1，即满足\(\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{|AD|}{|BD|}\)的四点A,B,C,D为调和点列
这里有个问题，假如图中的\(C\)点来到了\(A,B\)中点，那么\(D\)需要在哪才能满足调和点列的定义呢？
由定义，我们会得到：\(AD=BD\)，而由于此时\(A，B\)不重合，因此似乎这个条件永远满足不了
但是假如\(D\)在无限远处,则能满足\(AD=BD\)的约束。
如上图，在\(A,C,B,D\)成调和点列，在\(A,C,B,D\)所在直线外取一点\(O\),作四条直线\(OA,OC,OB,OD\),且任意取一条直线与这四条直线分别交于\(A',C',B',D'\),求证：\(A',C',B',D'\)成调和点列
证明:
令\(\angle AOC = \alpha, \angle COB = \beta , \angle BOD = \gamma\)
由\(ACBD\)为调和点列知：
\(\frac{S\Delta AOC}{S\Delta BOC}=\frac{S\Delta AOD}{S\Delta BOD}\)
化简可得：
\(\frac{sin\alpha}{sin\beta}=\frac{sin(\alpha+\beta+\gamma)}{sin\gamma}\)
由此可以推出:
\(\frac{S\Delta A’OC’}{S\Delta B’OC’}=\frac{S\Delta A’OD’}{S\Delta B’OD’}\)
由四个三角形共高可得:
\(\frac{A'C'}{B'C'}=\frac{A'D'}{B'D'}\)
因此\(A'C'B'D'\)为调和点列
上面的证明中我们发现只要四条交于一点的直线(核心是夹角角度)确立，则四条直线上各选共线的四点成调和点列
我们称这四条直线为调和线束
完全四边形
（爱来自百度百科）
完全四边形就是向上面的六点形，\(AB,FD\)交于C，\(AF,BD\)，交于\(E\)
这个四边形，它有六个点以及三条对角线(\(BD,AF,CE\))
这个图形特别强大，看起来平平无奇但是有着很多神秘性质
神秘性质1:
完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割，即取其中任意两条线与其的交点，在这条线上形成的四个点为调和点列
可以使用梅涅劳斯(Menelaus)定理+赛瓦(Ceva)定理进行证明，这里略
神秘性质2：
\(\Delta ABE, \Delta BCD, \Delta ACF, \Delta DEF\)四个三角形的外接圆共点
可以使用西姆森(Simson)定理证明,这里略
最常用的是性质1
买的高几数还没到T^T，只能先写到这里了，下周再写二次曲线上的应用