在开始之前，我们看一道题目：求函数 \(f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{2x+1}\) 的最大值。
这题有同学用求导法做出来了，但是我们这篇文章仅考虑不等式的做法。
很简单：就是陪一下cauchy：\(f(x)=1\times \sqrt{1-x}+\sqrt2\times \sqrt{\dfrac{1}{2}+x}\)
\(f(x)^2\le (1^2+(\sqrt2)^2)\times (1-x+x-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2}\)
\(\therefore f(x)_{max}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\)
很简单的一个铺垫
接下来看本文的重点：
题目：求函数 \(f(x)=\sqrt{2x-7}+\sqrt{12-x}+\sqrt{44-x}\) 的最大值
这道题如果用上题的方法去配会发现配不出来，取不到等。那么我们从出题人的角度来分析。
这题的核心肯定是cauchy，不然我标题也不可能那么写（划去）。我们的目标是找到一个合适的 \((u,v,w)\)，配这样的cauchy：
\[f(x)^2\le (\dfrac{2x-7}{u}+\dfrac{12-x}{v}+\dfrac{44-x}{w})(u+v+w)
\]
然后，第一个括号里的x能消掉，即 \(\dfrac{u}{2}=\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{w}\)。以及，能取到等号，即 \(\dfrac{2x-7}{u^2}=\dfrac{12-x}{v^2}=\dfrac{44-x}{w^2}\)。
出题时先找uvw，然后去适配。
我们大胆猜测，\(44-x=w^2，\) 后面以此类推，那么也就是说根号内的三个式子都是完全平方数。x=8刚好符合这一点，随后我们能解出u,v,w，就做出这道题了。