概述
单目相机通常无法进行尺寸测量，要么使用远心镜头，通过近似正投影的方式来获取轮廓，进行一维测量。
而本文提出了一种基于单目相机的旋转体体积测量方法，使用普通相机镜头就可以实现。整个测量过程如下：
- 对单目相机进行标定
- 将旋转体放置在平面上（平面形式包括但不限于标定板、Aruco 编码块等，平面上必须要有可以提前识别出二维坐标和三维坐标的图案）
- 相机从侧面拍摄旋转体，要求可以拍到上顶面（全部可见）、和下底面（部分可见）
- 算法调用，输出体积（圆柱体输出半径和高度，长方体输出长宽高）
原理
以圆柱体为例：
如上图所示，圆柱体立于平面1上，平面1上放置一个 aruco 编码块，相机侧拍圆柱体，可看到圆柱顶面完整轮廓以及底面部分轮廓。
步骤1：相机标定。通过相机标定获得相机内参 \(K\)。
步骤2：平面1到相机的 \(RT\) 求解。平面1上的 aruco 编码块四个角点可检测到，同时其边长已知。假设为 \(w\) ，那么四个角点的三维坐标可以表示为$ (0,0,0)$ 、\((0,w,0)\) 、\((w,w,0)\)、\((w,0,0)\) 。于是可以通过 PNP 计算出平面1到相机的 \([R_1,T_1]\)。
步骤3：提取椭圆轮廓。提取图像中轮廓，并筛选得到底面轮廓 \(s_1\) 和顶面轮廓 \(s_2\)。
步骤4：底面轮廓三维重建和拟合圆。在 aruco 所建立的世界坐标系下，底面轮廓 \(S_1\) 的三维坐标 \(Z=0\)，再结合步骤1中得到的相机内参 \(K\)、步骤2 中的 \([R_1,T_1]\) 可以重建出底面轮廓 \(S_1\) ，同时可以拟合圆得到直径 \(D_1\) 。
步骤5：母线反投影。在底面轮廓 \(S_1\) 拟合出的圆上，均匀选取 6 个点，记作 \(A_1,\cdots,A_6\) 。由于圆柱体母线垂直于 \(Z=0\) 平面，那么将 \(A_1,\cdots, A_6\) 这几个点的 \(Z\) 坐标适当增大到某个值 \(Z_0\) ，得到 \(T_1,\cdots,T_6\) 。此时将 \(A_1,\cdots,A_6\) 与 \(T_1,\cdots,T_6\) 利用相机内参 \(K\) 计算其对应的二维投影点（图像上）\(a_1, \cdots,t_6\) 。那么此时母线 \(A_iT_i(i=1,2,\cdots,6)\) 投影图像上得到的直线为 \(a_it_i\) 。
步骤6：顶面轮廓二维点和三维点计算。图像上母线 \(a_it_i\) 与顶面轮廓相交于 \(b_i\) ，那么同理在空间上，母线 \(A_iT_i\) 与顶面轮廓相交于 \(B_i\)，于是根据母线垂直于 \(Z=0\) 平面可知，\(A_i\) 和 \(B_i\) 的横纵坐标都应该相等。因此 6 条母线可以得到顶面轮廓上的 6 对 二维和三维点 \(b_i,B_i(i=1,\cdots,6)\) 。
步骤7：平面2到相机的 \(RT\) 求解。步骤6 得到的三维坐标 \(B_i\) 可以认为其直接落在平面2上，令世界坐标系在平面2上，所有\(b_i\) 的 \(Z\) 坐标都为 0，而通过步骤6母线传递的横纵坐标仍然可保持不变。那么同步骤2类似，可利用二维和三维点 \(b_i,B_i(i=1,\cdots,6)\) 通过 PNP 计算出平面2到相机的 \([R_2,T_2]\)。
步骤8：顶面轮廓三维重建和拟合圆。顶面轮廓 \(S_2\) 的三维坐标 \(Z=0\)，再结合步骤1中得到的相机内参 \(K\)、步骤6 中的 \([R_2,T_2]\) 可以重建出底面轮廓 \(S_2\) ，同时可以拟合圆得到直径 \(D_2\) 。
步骤9：圆柱直径计算。由于底面只有部分轮廓，拟合圆直径可能存在偏差，而顶面轮廓重建经历了前面若干步骤传递了一些误差，因此为了平衡误差，最终圆柱的直径 \(D = \dfrac{D_1+D_2}{2}\) 。
步骤10：圆柱高度计算。平面1和平面2到相机的 \(RT\) 都已知，那么相机光心到平面1和平面2的距离都可以计算出来。将光心转换到平面1和平面2所在的世界坐标系下，其 \(Z\) 值即为高度，分别记作 \(H_1\) 和 \(H_2\) ，那么根据这两个面平面，圆柱高度可表示为 \(H= |H1-H2 |\) 。
这套流程中最巧妙的地方在于利用母线将底面的坐标传递到了顶面，建立起了顶面二维点和三维点之间的映射关系；同时高度的计算因为相机位置始终没变，所以直接计算两个面到相机光心的距离之差就可以得到高度。尽管上述流程讲述的是圆柱体，但实际上长方体、或者其他通过底面拉伸得到的旋转体都可以这样求其体积。
成果
