量子力学作业 4

第 4 次作业

习题 4.5

式 \(4.25\)：

\[sin\theta\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}) + [l(l+1)sin^2\theta-m^2]\Theta=0 \]

代入 \(l=m=0\) 得：

\[sin\theta\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}) = 0 \]

\[sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta} = sin\theta(\frac{d(Aln[tan(\theta/2))}{d\theta}) = \frac{1}{2}sin\theta\frac{A}{sin{\frac{\theta}{2}}cos{\frac{\theta}{2}}} = A \]

所以

\[sin\theta\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}) = sin\theta\frac{d}{d\theta}(A) = 0 \]

得证。

由于 \(\Theta = Aln[tan(\theta/2)]\) 在 \(\theta = 0\) 和 \(\theta = \pi\) 处发散，因此这个解是不合理的。

习题 2.18

将波函数 \(\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t)}\) 代入到几率流公式 \(J = \frac{i\hbar}{2m}(\Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} - \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x})\) 中，得：

\[J(x,t) = kA^2\hbar/m \]

当 \(J(x,t) > 0\) 时，即 \(k>0\) 时，几率流方向为 \(x\) 轴正方向。

当 \(J(x,t) < 0\) 时，即 \(k<0\) 时，几率流方向为 \(x\) 轴负方向。

习题 3.2

(a)

要求函数 \(f(x)\) 在希尔伯特空间中即要求 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 上平方可积。

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2v dx \]

\(1°\) 当 \(v ≤ -\frac{1}{2}\) 时，\(f(x)\) 在 \(x=0\) 处不可积。

\(2°\) 当 \(v > -\frac{1}{2}\) 时，\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \frac{1}{2v+1}x^{2v+1}|^1_0 = \frac{1}{2v+1}\) 可积。

所以 \(f(x)\) 平方可积的条件是 \(v>-\frac{1}{2}\)

(b)

\(v=\frac{1}{2}\) 满足 \(v>-\frac{1}{2}\) 平方可积的条件，故此时 \(f(x)\) 在希尔伯特空间中。

\[xf(x) = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \]

相当于指数 \(v = \frac{3}{2}\)，因此 \(xf(x)\) 平方可积，在希尔伯特空间中。

\[\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]

相当于指数 \(v = -\frac{1}{2}\) 不满足 \(v ≥ -\frac{1}{2}\) 的条件，因此不在希尔伯特空间中。

习题 3.4

(a)

设 \(\hat{Q_1}\) 和 \(\hat{Q_2}\) 是两个厄米算符，\(\hat{Q} = \hat{Q_1} + \hat{Q_2}\)

\[<f|\hat{Q}g> = <f|(\hat{Q_1} + \hat{Q_2})g> = <f|\hat{Q_1}g> + <f|\hat{Q_2}g> \]

由于 \(<f|\hat{Q_1}g> = <\hat{Q_1}f|g>\)，\(<f|\hat{Q_2}g> = <\hat{Q_2}f|g>\)

\[<f|\hat{Q}g> = <\hat{Q_1}f|g> + <\hat{Q_2}f|g> = <(\hat{Q_1}+\hat{Q_2})f|g> = <\hat{Q}f|g> \]

因此 \(\hat{Q}\) 也是厄米算符，得证。

(b)

\(\alpha\hat{Q}\) 是厄米的要求 \(<f|\alpha\hat{Q}g> = <\alpha\hat{Q}f|g>\)，即 \(\alpha<f|\hat{Q}g> = \alpha^*<\hat{Q}f|g>\)

由 \(\hat{Q}\) 是厄米算符可以得到 \(<f|\hat{Q}g> = <\hat{Q}f|g>\)，则需满足 \(\alpha = \alpha^*\)

所以只有当 \(\alpha\) 是实数的时候才满足 \(\alpha\hat{Q}\) 是厄米算符的条件。

(c)

设 \(\hat{Q_1}\) 和 \(\hat{Q_2}\) 是两个厄米算符，\(\hat{Q} = \hat{Q_1}\hat{Q_2}\)

\[<f|\hat{Q}g> = <f|\hat{Q_1}\hat{Q_2}g> = <\hat{Q_2}\hat{Q_1}f|g> \]

要使 \(<f|\hat{Q}g> = <\hat{Q}f|g>\)，需要 \(\hat{Q_1}\hat{Q_2} = \hat{Q_2}\hat{Q_1}\)，即满足：

\[[\hat{Q_1}, \hat{Q_2}] = 0 \]

(d)

\(x\) 是实数，因此 \(x = x^*\)，\(<f|xg> = <f|x^*g> = <xf|g>\) ，\(x\) 是厄米算符。

\[<f|\hat{H}g> = \int_{-\infty}^{+\infty} -f^*(\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x))g dx \]

由于 \(V(x)\) 是实数，则 \(V(x)\) 是厄米算符。

剩余部分为：$$-\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{d^2 g}{dx^2} dx$$

\[= -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* d(\frac{dg}{dx}) = -\frac{\hbar^2}{2m}f^*\frac{dg}{dx}|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{df^*}{dx}\frac{dg}{dx}dx \]

由于 \(f, g\) 的平方可积性，其中第一项为 \(0\)，可得：

\[-\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{d^2 g}{dx^2} dx = \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{df^*}{dx}\frac{dg}{dx}dx \]

利用上述分部积分法，再做一次，可得：

\[-\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} f^* \frac{d^2 g}{dx^2} dx = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d^2f^*}{dx^2}gdx \]

即 \(<f|\frac{d^2}{dx^2}g> = <\frac{d^2}{dx^2}f|g>\)，所以 \(\frac{d^2}{dx^2}\) 是厄米算符。

由（b）问可知，\(-\frac{\hbar}{2m}\)（实数）与厄米算符 \(\frac{d^2}{dx^2}\) 的乘积 \(-\frac{\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\) 也是厄米算符。

由（a）问可知，两个厄米算符 \(-\frac{\hbar}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\) 和 \(V(x)\) 的和是厄米算符，即 \(\hat{H}\) 是厄米算符。得证。