已知：
\[g(n) = \sum_{d \mid n} f(d) \quad \text{对所有 } n
\]
要证：
\[f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) \, g\!\left( \frac{n}{d} \right)
\]
关键性质（莫比乌斯函数）：
\[\sum_{d \mid m} \mu(d) =
\begin{cases}
1, & m = 1, \\
0, & m > 1
\end{cases} \quad (1)
\]
证明：
将 \( g(\frac{n}{d}) = \sum_{e \mid \frac{n}{d}} f(e) \) 代入右边：
\[\begin{aligned}
\sum_{d \mid n} \mu(d) \, g\!\left( \frac{n}{d} \right)
&= \sum_{d \mid n} \mu(d) \sum_{e \mid \frac{n}{d}} f(e) \\
&= \sum_{e \mid n} f(e) \sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) \quad (\text{交换求和次序})
\end{aligned}
\]
由性质 \(1\)：
\[\sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) =
\begin{cases}
1, & \frac{n}{e} = 1 \text{ 即 } e = n, \\
0, & \text{其他 } e < n
\end{cases}
\]
所以：
\[\sum_{e \mid n} f(e) \sum_{d \mid \frac{n}{e}} \mu(d) = f(n) \cdot 1 = f(n)
\]
因此：
\[\sum_{d \mid n} \mu(d) \, g\!\left( \frac{n}{d} \right) = f(n)
\]