方差的迭代计算公式 - 指南

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1️、方差基础公式

给定一组数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，其 均值 和 方差 定义如下：

均值：

$${\bar{x}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

方差：

无偏样本方差：
$$s_n^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-{\bar{x}}_n{)}^2$$

总体方差：
$${\sigma }_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\bar{x}}_n{)}^2$$

注意：样本方差比总体方差除以 $n-1$，以消除偏差。

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2️、为什么需要迭代公式？

直接计算方差需要存储所有数据，尤其对于大规模数据或流式数据（streaming data），这是不现实的。
迭代公式允许 每来一个新数据 $x_{n+1}$ 时更新均值和方差，无需重新扫描整个数据集。

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3️、均值迭代公式

已有 $n$ 个样本均值 $\bar{x}\ast n$，加入新样本 $x\ast n+1$ 后，新的均值 ${\bar{x}}_{n+1}$：

$${\bar{x}}_{n+1}={\bar{x}}_n+\frac{x_{n+1}-{\bar{x}}_n}{n+1}$$

简单理解：新均值是旧均值加上新数据偏差的 $1/(n+1)$。

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4️、方差迭代公式推导（Welford 算法）

1. 定义当前样本数量 $n$ 的 累计平方差：
   $$M_{2,n}=\sum _{i=1}^n(x_i-{\bar{x}}_n{)}^2$$

2. 当加入新样本 $x_{n+1}$：

   • 更新均值：
     $${\bar{x}}_{n+1}={\bar{x}}_n+\frac{x_{n+1}-{\bar{x}}_n}{n+1}$$
   • 差值：
     $$\delta =x_{n+1}-{\bar{x}}_n$$
     $${\delta }_2=x_{n+1}-{\bar{x}}_{n+1}$$

3. 更新累计平方差：
   $$M_{2,n+1}=M_{2,n}+\delta \cdot {\delta }_2$$

4. 迭代计算方差：

• 样本方差：
  $$s_{n+1}^2=\frac{M_{2,n+1}}{n}$$
  或无偏样本方差：
  $$s_{n+1}^2=\frac{M_{2,n+1}}{n}$$

核心思想：每次只用上一轮累计平方差 + 新样本与均值的偏差，保证数值稳定，不容易溢出。

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5️、数值稳定性说明

Welford 方法相比直接公式：
$$s_n^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}_n^2$$
优势：

• 不需要存储所有 $x_i$；
• 避免 平方和减去平方均值 导致的数值精度丢失；
• 可以实时处理大规模或流式数据。

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6️、C++ 实战示例

#include <vector>#include <iostream>class OnlineVariance {private:int n = 0;double mean = 0.0;double M2 = 0.0;  // 累计平方差public:void addSample(double x) {n++;double delta = x - mean;mean += delta / n;double delta2 = x - mean;M2 += delta * delta2;}double getMean() const { return mean; }double getVariance() const { return n > 1 ? M2 / (n-1) : 0.0; } // 样本方差double getPopulationVariance() const { return n > 0 ? M2 / n : 0.0; } // 总体方差};int main() {std::vector<double> data = {2.0, 4.0, 4.0, 4.0, 5.0, 5.0, 7.0, 9.0};OnlineVariance ov;for (auto x : data) {ov.addSample(x);std::cout << "n=" << ov.n << ", mean=" << ov.getMean()<< ", variance=" << ov.getVariance() << std::endl;}return 0;}

输出示例（部分）：

n=1, mean=2, variance=0
n=2, mean=3, variance=2
n=3, mean=3.33333, variance=2.33333
...

每增加一个数据点，均值和方差都会被实时更新。

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7️、总结公式

• 均值迭代：
  $${\bar{x}}_{n+1}={\bar{x}}_n+\frac{x_{n+1}-{\bar{x}}_n}{n+1}$$
• 累计平方差迭代：
  $$M_{2,n+1}=M_{2,n}+(x_{n+1}-{\bar{x}}_n)(x_{n+1}-{\bar{x}}_{n+1})$$
• 方差：
  $$s_{n+1}^2=\frac{M_{2,n+1}}{n}\text{(总体方差)}$$
  $$s_{n+1}^2=\frac{M_{2,n+1}}{n-1}\text{(样本方差)}$$

这种迭代方式适合大数据、流式数据和实时计算，数值稳定且无需存储所有历史数据。

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