外向树拓扑序个数为 \(\frac{n!}{\Pi \mathrm{size}(u)}\)，直观理解是子树根拓扑序在子树所有节点之前的概率是 \(\frac{1}{\mathrm{size}(u)}\)，连乘起来即可。
考虑容斥，设 \(h_i\) 表示钦定 \(i\) 个内向边不满足条件（即看作外向边）的拓扑序数，则答案为 \(\sum(-1)^i \cdot h_i\)，注意不是 \(h_0 - h_1\)，因为钦定 \(i\) 个内向边不满足的方案数中有 \(j\) 个 \((i < j)\) 不满足的方案数会被重复算 \(\binom{j}{i}\) 次，是一个二项式反演之类的东西。
合并两个子树：拓扑序个数为 \(\mathrm{cnt}_u \cdot \mathrm{cnt}_v \cdot \binom{\mathrm{size}(u) + \mathrm{size}(v)}{\mathrm{size}(u)}\)，因为兄弟之间互不影响。
设 \(g_{i, j, k}\) 表示子树 \(i\) 中钦定了 \(j\) 条内向边，\(i\) 能走到 \(k\) 个节点，容易得到转移方程，复杂度 \(O(n^3)\)。
考虑最终只要求 \(\sum (-1)^i \cdot g_{1, i, j}\)，我们令 \(f_{i, k} = \sum (-1)^j \cdot g_{i, j, k}\)，即把容斥系数带进去 dp，可以做到 \(O(n^2)\)。