P12014 [Ynoi April Fool's Round 2025] 牢帽
Problem
星野加奈给你一个 \(n\) 个点的无向图，图初始没有边。他还有整数 \(u,v\) 和 \(a_1,a_2,\cdots ,a_n\)。现在有 \(q\) 次操作，操作有四种：
1 x y：连接 \(x,y\) 之间的边，保证边原先不存在。2 x y：删除 \(x,y\) 之间的边，保证边原先存在。3 x y：将 \(a_x\) 修改为 \(y\) 。4 x：设图分为 \(C_1,C_2,\cdots ,C_k\) 共 \(k\) 个连通块，求出 \(\sum_{i=1}^k \prod_{j\in C_i}(a_j+x) \bmod u^v\)。
\(1\leq n,q\leq 10^5,1\leq u\leq 10,1\leq v\leq 4,0\leq a_i <10^4\)，\(3\) 操作中 \(y\)、\(4\) 操作中 \(x\) 均为小于 \(10^4\) 的非负整数。
时间 3s，空间 512MB。
Solution
一种可能不太一样的口胡做法。欢迎大家指错。
对于动态加删边、维护连通块信息，可以使用线段树分治进行维护。
发现 \(u\le 10\)，也就是说小于 \(u\) 的质数只有 \(2, 3, 5, 7\)。并且次数也很小。
对每个连通块，记录其在模 \(2, 3, 5, 7\) 意义下的每个余数的数量。查询 \(+x\) 时，只需要知道余数为 \(-x\) 的个数。但是这样没有办法知道 \(2, 3, 5, 7\) 的个数究竟有多少个（eg：\(7+1=2^3\)）考虑在个数比较少的时候直接记录数的集合。然后由于 \(u, v\) 在开头就给定了，所以不用把每个数的数量都维护满，最大的时候是 \(u=10, v=4\)，此时需要维护 \(4\times 2 + 5\times 5=33\) 个数
时间复杂度：\(O(q \log q \log n + 33q\log q)\)。