【题目来源】
洛谷：P2455 [SDOI2006] 线性方程组 - 洛谷 (luogu.com.cn)
【题目描述】
已知 \(n\) 元线性一次方程组。
\[\begin{cases} a_{1, 1} x_1 + a_{1, 2} x_2 + \cdots + a_{1, n} x_n = b_1 \\ a_{2, 1} x_1 + a_{2, 2} x_2 + \cdots + a_{2, n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n,1} x_1 + a_{n, 2} x_2 + \cdots + a_{n, n} x_n = b_n \end{cases}
\]
请根据输入的数据，编程输出方程组的解的情况。
【输入】
第一行输入未知数的个数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行 \(n + 1\) 个整数，表示每一个方程的系数及方程右边的值。
【输出】
如果有唯一解，则输出解。你的结果被认为正确，当且仅当对于每一个 \(x_i\) 而言结果值与标准答案值的绝对误差或者相对误差不超过 \(0.01\)。
如果方程组无解输出 \(-1\)；
如果有无穷多实数解，输出 \(0\)；
【输入样例】
3
2 -1 1 1
4 1 -1 5
1 1 1 0
【输出样例】
x1=1.00
x2=0.00
x3=-1.00
【算法标签】
《洛谷 P2455 线性方程组》 #数学# #线性代数# #高斯消元# #各省省选# #2006# #山东# #Special Judge#
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 105; // 最大矩阵大小
const double eps = 1e-6; // 浮点数精度阈值
int n; // 方程数量（即矩阵阶数）
double a[N][N]; // 增广矩阵// 高斯消元法求解线性方程组
int gauss()
{int c, r; // c: 当前列，r: 当前行// 主循环：对每一列进行消元for (c = 0, r = 0; c < n; c++){int t = r; // 寻找当前列绝对值最大的行for (int i = r; i < n; i++){if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])){t = i;}}// 如果当前列主元绝对值小于eps，说明该列全为0，跳过if (fabs(a[t][c]) < eps){continue;}// 将主元所在行交换到第r行for (int i = c; i <= n; i++){swap(a[t][i], a[r][i]);}// 将主元归一化为1for (int i = n; i >= c; i--){a[r][i] /= a[r][c];}// 用第r行消去下面所有行的第c列for (int i = r + 1; i < n; i++){if (fabs(a[i][c]) > eps){for (int j = n; j >= c; j--){a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];}}}r++; // 行指针下移}// 判断解的情况if (r < n) // 系数矩阵秩小于n{for (int i = r; i < n; i++){if (fabs(a[i][n]) > eps) // 存在0=非零的情况，无解{return 2;}}return 1; // 有无穷多解}// 回代求解for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i + 1; j < n; j++){a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];}}return 0; // 有唯一解
}int main()
{cin >> n; // 读入方程数量// 读入增广矩阵for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n + 1; j++){cin >> a[i][j];}}int t = gauss(); // 执行高斯消元if (t == 0) // 有唯一解{for (int i = 0; i < n; i++){printf("x%d=%.2lf\n", i + 1, a[i][n]);}}else if (t == 1) // 有无穷多解{cout << "0" << endl;}else // 无解{cout << "-1" << endl;}return 0;
}
【运行结果】
3
2 -1 1 1
4 1 -1 5
1 1 1 0
x1=1.00
x2=0.00
x3=-1.00