专题：代数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：因式分解、不等式 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★
【题目】
(2020年湛江一中自主招生) 设\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，且\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，则以下说法正确的是( )
A．\(a\)，\(b\)，\(c\)可能相等，也可能不等
B．\(a\)，\(b\)，\(c\)相等
C．\(a\)，\(b\)，\(c\)不相等
D．以上说法都不对
【分析】
一是直接法：题中最明显的是\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)中的\(\dfrac{b}{a} ×\dfrac{c}{b} ×\dfrac{a}{c} =1\)，使用换元法，设\(\dfrac{b}{a} =x\)，\(\dfrac{c}{b} =y\)，\(\dfrac{a}{c} =z\)，则\(xyz=1\)，再根据\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)得出\(x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)；本题变成已知\(xyz=1\)，\(x+y+z=3\)，\(x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)，判断\(x\)、\(y\)、\(z\)是否相等；接着也较容易想到消元法，得到\(x+y+\dfrac{1}{xy} =3\)或\(xy(3-x-y)=1\)，但接着要往下继续思考，遇到了困难。
二是间接法：对\(a\)，\(b\)，\(c\)是否相等进行分类讨论：①\(a=b=c\)，②\(a=b≠c\)，③\(a≠b≠c\)，
①明显满足题意；
②是不满足题意的，证明如下：
若\(a=b\)，则\(\dfrac{c}{a} +\dfrac{a}{c} =2⇒c^2+a^2=2ac⇒(a-c)^2=0⇒a=c\)，与\(a≠c\)矛盾；
而③就不好证明成立与否，遇到类似直接法的困难。
最终要解决，需要足够扎实基本功，下面我们看看有什么方法。
【解答】
方法1 因式分解法
设\(\dfrac{b}{a} =x^3\)，\(\dfrac{c}{b} =y^3\)，\(\dfrac{a}{c} =z^3\)，则\(x^3 y^3 z^3=1\)，即\(xyz=1\)，
由已知可得：\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)，
即\((x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0\)，(这因式分解不容易想到)
\(∵a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(∴x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)，\(∴x+y+z>0\)，
\(∴x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)，(这等式得到\(x=y=z\)是常见的)
\(∴2(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=0⟹(x-y)^2+(x-z)^2+(z-y)^2=0\)，
即\(x=y=z\)，\(∴\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c}\)，
又\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，\(∴\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c} =1\)，
\(∴a=b=c\)，
故选：\(B\)．
方法2 基本不等式法
利用基本不等式\(x+y+z≥3\sqrt[3]{xyz}\)(当且仅当\(x=y=z\)时取到等号)，这是高中范畴内容。
\(∵a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(∴\dfrac{b}{a} >0\)，\(\dfrac{c}{b} >0\)，\(\dfrac{a}{c} >0\)，
\(∴\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c} ≥ 3\sqrt[3]{\dfrac{b}{a}\times \dfrac{c}{b} \times \dfrac{a}{c}} =3\)，而\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，
所以\(\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c}\)，
又\(\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} =3\)，\(∴\dfrac{b}{a} =\dfrac{c}{b} =\dfrac{a}{c} =1\)，
\(∴a=b=c\)，
故选：\(B\)．
方法3 函数法
设\(\dfrac{b}{a} =x\)，\(\dfrac{c}{b} =y\)，\(\dfrac{a}{c} =z\)，则\(xyz=1⟹z=\dfrac{1}{xy}\)，\(x+y+z=3\)，(换元法)
\(∵a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)，\(∴x>0\)，\(y>0\)，\(z>0\)，；
\(∴\dfrac{1}{xy} +x+y=3\)，(消元法)
\(∵x+y≥2\sqrt{xy}\)，
(基本不等式：若\(x>0\)，\(y>0\)，则\(x+y≥2\sqrt{xy}\)(当且仅当\(x=y\)时取到等号))
\(∴3=\dfrac{1}{xy} +x+y≥\dfrac{1}{xy} +2\sqrt{xy}\)，
设\(t=\sqrt{xy} >0\)，则\(3≥\dfrac{1}{t^2 } +2t\)，
令\(f(t)=\dfrac{1}{t^2 } +2t\)，则\(f'(t)=\dfrac{2(t^3-1)}{t^3 }\)，(构造函数，利用导数求最值，高中范畴)
\(∴\)当\(0<t<1\)时，\(f'(t)<0\)；当\(t>1\)时，\(f'(t)>0\)；
易得当\(t=1\)时，\(f(t)\)取到最小值\(f(1)=3\)，即\(\dfrac{1}{t^2 } +2t≥3\)，
而\(3≥\dfrac{1}{t^2 } +2t\)，\(∴\dfrac{1}{t^2 } +2t=3\)，且仅\(t=1\)时成立，
\(∴\sqrt{xy} =1\)，\(∴z=1\)，即\(a=c\)，
同理\(a=b\)，
∴\(∴a=b=c\)，
故选：\(B\)．
【总结】
方法1是初中的方法，但是技巧性较强，想到的难度较大；方法2和方法3是奥数或高中的方法，方法2是最简单，方法3显得有些麻烦，但是构造函数很强的处理代数问题的手段。