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经典转动理论 - Emi

news 2026/3/26 17:20:15

在学习转动理论之前先学习一下度规

假设在二维欧氏空间中存在两个点\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，我们可以用勾股定理写出两点之间的距离：

\[ds^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \qquad(1) \]

我们将距离用矩阵形式表示：

\[ds^2=(\begin{matrix}dx & dy \end{matrix})\left(\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1 \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}dx\\dy \end{matrix}\right) \qquad(2)\]

我们就称中间的那个单位矩阵为度规。

定义度规

\[ds^2=\sum_{a=1}^{D}\sum_{b=1}^{D}g_{ab}dq^adq^b \]

其中\(D\)是空间维度。需要特别注意的是这里\(a\)和\(b\)是哑指标，不是有实际含义的物理量，而之所以需要两个指标而不是一个是因为我们的度规是二阶张量（矩阵，有行和列两个指标）
我们可以理解度规为衡量空间中两点距离的一把尺子，告诉我们坐标轴方向的长度伸缩和夹角信息。

一个额外的练习（写出球坐标下的度规）

现在想象这两个点是在一个球面上，这时勾股定理不再成立。但是在一般空间中，某点附近可以用平直的线性平面（切平面）来近似，换句话说如果这里\(A\)，\(B\)两点够近我们还是可以写出类似式子（1）的关系。

我们先写出两点的球坐标：\(A(\theta,\phi)\)，\(B(\theta+d\theta,\phi+d\phi)\)，进而写出球坐标切面下的勾股定理：

\[ds^2=(Rd\theta)^2+(Rsin\theta d\phi)^2 \qquad (3) \]

将其写成矩阵形式：

\[ds^2=(\begin{matrix}d\theta & d\phi \end{matrix})\left(\begin{matrix}R^2 & 0\\ 0 & R^2 sin^2\theta \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\theta \\ d\phi \end{matrix}\right)\qquad(4)\]

转动是保度规的坐标转换（这里推出了转动保度规，保体积，以及正交性）

首先，我们写出直角坐标下\(D\)维欧氏空间的线元：

\[ds^2=\delta_{ij}dx^idx^j \qquad(5) \]

这里使用了爱因斯坦求和约定，照理说该有求和号，只是说省略了而已
现在我们假设坐标发生了如下变换：

\[\tilde{x}^i=\tilde{x}^i(x), i=1,\dots,D\qquad(6) \]

假设坐标变换引起了一点附近的无穷小位移：

\[d\tilde{x}^i=\frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^n}dx^n\qquad(7) \]

这里的\(\frac{\partial \tilde{x}^i}{\partial x^n}\)就是坐标变换的雅可比矩阵。注意这里的\(n\)是哑指标，表示对所有的分量求和，同样是爱因斯坦求和约定省略了的
我们再写出坐标变换之后两个点之间的距离：

\[ds_{new}^2=\delta_{kl}d\tilde{x}^kd\tilde{x}^l=\delta_{kl}\frac{\partial \tilde{x}^k}{\partial x^i}dx^i\frac{\partial \tilde{x}^l}{\partial x^j}dx^j\qquad（8） \]

这里尤其需要注意符号，在本文中，用头上一个小弯弯来表示变换后的坐标，而所有的上下标都仅表示哑指标，所以会发现这里频繁更换上下标，但其实不影响我们要表达的意思。

雅可比矩阵是可以拉伸或者扭曲坐标基的，所以考虑最一般的情况，变换后的度规和距离都会发生变换。但是转动是一种特殊的坐标变换，我们想象一下生活中的转动，我们在纸上画两个点，然后把纸转90度，转动之后两个点之间的距离是不会发生变化的。有了距离不变的约束条件之后，我们再看式（8）和式（5）就会发现要满足这个条件必须存在：

\[\delta_{ij}=\delta_{kl}\frac{\partial \tilde{x}^k}{\partial x^i}\frac{\partial \tilde{x}^l}{\partial x^j}\qquad(9) \]

在之前度规的练习中可以知道，直角坐标下欧氏空间中的度规都是单位矩阵。然后定义转动矩阵：

\[\frac{\partial \tilde{x}^k}{\partial x^i}=R^k_i\qquad(10) \]

再次提示注意符号，这里的\(i\)和\(j\)分别表示矩阵的行列

我们也可以把式子（9）写成：

\[\delta_{ij}=\delta_{kl}R_i^k R_j^l\qquad(11) \]

其中\(R\)是雅可比矩阵。我们知道\(\delta\)是单位矩阵，也就是说:

\[\delta_{kl}=\left\{ \begin{matrix}1,k=l \\0,k\neq l \end{matrix} \right.\qquad(12)\]

因此，公式（11）变成了:

\[\delta_{ij}=R_i^kR_j^k \qquad(13) \]

我们用语言解释这个公式就是：矩阵\(R\)的第\(i\)列与第\(j\)列的欧氏内积等于\(\delta_{ij}\)。注意这里当我们单独讨论矩阵的某一列的时候，我们关注的对象变成了矢量而非矩阵，两个矢量的内积满足：

\[\vec{a} \vec{b}=\vec{a}^T\vec{b}\qquad(14) \]

我们遍历所有的\(k\)值后就会发现，公式（13）其实就是把我们矩阵的每一个列向量拿出来做内积再把结果拼回去，换句话说其实就是对矩阵本身做内积：

\[\delta_{ij}=(R^T)_i^k(R)_j^k\qquad(15) \]

化简这个式子：

\[R^TR=I\qquad(16) \]

再对左右两边取行列式可以得到：

\[det(R^TR)=det(R^T) det(R)=det(R)^1=1 \]

\[det(R)=\pm 1\qquad(17) \]

从（16）和（17）式中我们可以得出以下结论：

转动矩阵是正交矩阵，转动变换是正交变换。
欧氏空间的转动不改变体积。

转动是线性空间中的基变换

\(D\)维欧氏空间有\(D\)个线性独立的正交基矢\(\{\hat{e}_i\}=\{\hat{e}_1,\dots,\hat{e}_D\}\)。基矢的正交归一条件即：

\[\braket{\hat{e}_i,\hat{e}_j}=\delta_{ij}\qquad(18) \]

假设存在另一组同样的基矢\(\{\tilde{\hat{e}_i}\}\)。两者之间满足线性变换：

\[\hat{e}_i=R_i^j\tilde{\hat{e}_j}\qquad(19) \]

代入式（18）所表示正交归一条件我们可以得到：

\[\delta_{ij}=\braket{\hat{e}_i,\hat{e}_j}=\braket{R_i^k\tilde{\hat{e}_k},R_j^l\tilde{\hat{e}_l}}=R_i^kR_j^l\braket{\tilde{\hat{e}_k},\tilde{\hat{e}_l}}=\delta_{kl}R_i^kR_j^l\qquad(20) \]

对比会发现这和式（11）转动变换的定义一致。可见，线性空间的正交归一基矢之间的变换就是转动。