一个最优化方法的例题（例1-5），旨在通过图解法和等值线法求解约束优化问题。以下是该题的完整解答和解题思路：
问题描述
求最优化问题：
- 目标函数：\( f(x) = x_1^2 + x_2^2 - 2x_2 \)
- 约束条件：
- \( x_1^2 + 2x_1 + x_2^2 \leq 8 \)
- \( x_1 + x_2 \geq 2 \)（根据图片文本推断，第二个约束应为 \( x_1 + x_2 \geq 2 \)，因为图中提到“\( x_1+...+x_2\geq2 \)”，但实际完整形式是 \( x_1 + x_2 \geq 2 \)）
- \( x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \)
问题形式为：\[ \min f(x) \quad \text{s.t.} \quad x_1^2 + 2x_1 + x_2^2 \leq 8, ; x_1 + x_2 \geq 2, ; x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \]
解题步骤
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画出可行域：
首先，将约束条件转化为几何区域。约束 \( x_1^2 + 2x_1 + x_2^2 \leq 8 \) 可改写为 \( (x_1 + 1)^2 + x_2^2 \leq 9 \)，表示一个圆心在 \((-1, 0)\)、半径为3的圆盘（但注意 \( x_1 \geq 0 \)，因此只取圆盘在右半平面的部分）。约束 \( x_1 + x_2 \geq 2 \) 表示一条直线以上的区域，加上非负约束 \( x_1, x_2 \geq 0 \)，可行域为这些区域的交集，即图片中图1-1的阴影部分。 -
构造等值线族：
目标函数 \( f(x) = x_1^2 + x_2^2 - 2x_2 \) 可改写为 \( f(x) = x_1^2 + (x_2 - 1)^2 - 1 \)。令 \( f(x) = c_i \)（\( c_i \) 为常数），得到等值线方程：
\[ x_1^2 + (x_2 - 1)^2 = c_i + 1 \]
这表示以点 \( (0, 1) \) 为圆心、半径 \( r = \sqrt{c_i + 1} \) 的圆族。随着 \( c_i \) 减小，半径减小，目标函数值降低。 -
图解最优解：
观察图1-1，等值线族（圆族）与可行域（阴影部分）的关系。要最小化 \( f(x) \)，需找到最小的半径 \( r \) 使得等值线与可行域有交点。从图中可见，当等值线圆与可行域边界相切或通过可行域顶点时，可能取得最优值。
具体地，最优解出现在约束 \( x_1 + x_2 = 2 \) 与约束 \( x_1^2 + 2x_1 + x_2^2 = 8 \) 的交点附近，同时满足非负约束。通过计算或几何分析，可得交点坐标为 \( x^* = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)^T \)。此时，等值线半径最小且仍与可行域相交，因此 \( x^* \) 为最优解。
最优解
- 最优解：\( x^* = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)^T \)
- 最优值：代入目标函数，
\[ f(x^*) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 3 = \frac{10}{4} - 3 = -\frac{1}{2} \]
方法总结
本例采用图解法（或等值线法）求解二维约束优化问题，通过几何直观确定可行域和等值线，从而找到最优解。这种方法适用于目标函数为二次、约束为线性或二次的简单问题，能清晰展示最优解的几何意义。