13、离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

离散时间傅里叶变换与离散傅里叶变换详解

1. 引言

在信号处理中，变换通常涉及坐标和操作域的改变。离散傅里叶变换是离散时间信号在频域的一种表示，或者说是时域和频域之间的转换。通过离散变换将信号分解为其组成频率分量，就可以得到信号的频谱。在许多数字信号处理（DSP）应用中，时域和频域之间的转换是必要的，例如它可以更高效地实现数字滤波、卷积和相关等DSP算法。

2. 周期函数与傅里叶合成

2.1 傅里叶的发现

法国物理学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier，1768 - 1830）发现，任何周期波形都可以分解为正弦波的组合。所有能组合成任何周期波形的正弦波统称为一个基，每个单独的波都是基的一个元素。正弦波的振幅称为傅里叶系数，正弦波的频率之间的关系是它们都是基频的谐波（整数倍）。周期信号的振幅随时间的变化是其在时域的表示，而傅里叶系数对应于其在频域的表示。

2.2 用正弦波构造波形

假设有三个基本正弦波，频率分别为2Hz、4Hz和6Hz，振幅分别为7、2和4。它们相加形成的波形方程可以表示为：
[s(t) = 7 \sin(2\pi2t) + 2 \sin(2\pi4t) + 4 \sin(2\pi6t)]
如果用 (f_1) 表示基频，上式可写为：
[s(t) = 7 \sin(2\pi[f_1]t) + 2 \sin(2\pi[2f_1]t) + 4 \sin(2\pi[3f_1]t)]
这里基频是2Hz，二次谐波频率是4Hz，三次谐波频率是6Hz。可以观察到，更复杂的周期波 (s(t)) 的频率是2