参考 command_block 的多项式。
考虑 \(G(x),F(x)\) 互为复合逆，且没有常数项，\([x]F\) 和 \([x]G\) 非 \(0\)。
基础形式
\([x^n]G=\frac{1}{n}[x^{-1}]F^{-n}\)
类似的
\([x^n]G=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{F})^n\)
proof
引理：\([x^{-1}]F'F^n=[n=-1]\)
证明: 考虑 \(F=xH\)，那么 \(H\) 有常数项，那么就变成了 \([x^{-1}]F'x^nH^n\)，若 \(n\not=-1\)，这之中一定没有 \(-1\) 项，否则就为 \(1\)。
\[\begin{align*}
G(F(x))&=x \\
\sum_i G_iF^i&=x\\
\sum_i G_iiF'F^{i-1}&=1\\
\sum_i G_iiF'F^{i-n-1}&=F^{-n}\\
[x^{-1}]\sum_i G_iiF'F^{i-n-1}&=[x^{-1}]F^{-n}\\
[x^{-1}]\sum_i G_iiF'F^{i-n-1}&=[x^{-1}]F^{-n}\\
\sum_i G_ii[i-n-1=-1]&=[x^{-1}]F^{-n}\\
G_nn&=[x^{-1}]F^{-n}\\
G_n&=\frac{1}{n}[x^{-1}]F^{-n}\\
\end{align*}
\]