Part1.函数、数列与极限
映射
1. 定义
设 \(X, Y\) 是两个非空集合，若存在一个法则 \(f\)，使得对 \(X\) 中每个元素 \(x\)，按法则 \(f\)，在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应，则称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，（矩阵的线性变化也属于映射）记作：
- 原像：\(x\)
- 像：\(y = f(x)\)
- 值域：\(R_f = \{ f(x) \mid x \in X \} \subseteq Y\)
2. 核心要素
- 定义域：\(D_f = X\)
- 对应法则：\(f\)（满足单值性）
- 值域：\(R_f \subseteq Y\)
3. 特殊映射
满射 ： \(R_f = Y\)（值域等于陪域）
单射 ： \(x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)
双射 ： 既是满射又是单射（一一对应）
只有双射才存在逆映射 \(f^{-1}: Y \to X\)。
补充：单射函数不一定单调，连续单射函数一定单调，单调一定单射。
函数
1. 定义
设数集 \(D \subseteq \mathbb{R}\)，则映射 \(f: D \to \mathbb{R}\) 称为定义在 \(D\) 上的函数，记作：
- 自变量：\(x\)
- 因变量：\(y\)
- 函数值：\(f(x)\)
2. 函数的两要素
判定两个函数是否相同，仅看以下两点：
- 定义域是否相同
- 对应法则是否相同
函数的性质
1. 有界性
- 定义：\(\exists M > 0, \forall x \in X, |f(x)| \le M\)
- 几何意义：函数图像夹在两条水平线 \(y=M\) 和 \(y=-M\) 之间。
- 推论：有界 \(\iff\) 既有上界又有下界。
2. 单调性
- 单调增：\(\forall x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) （严格增）
- 单调减：\(\forall x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\) （严格减）
3. 奇偶性
前提：定义域必须关于原点对称。
偶函数 \(f(-x) = f(x)\) ， 关于 \(y\)轴 对称
奇函数 \(f(-x) = -f(x)\) ， 关于 原点 对称
性质：若奇函数在 \(x=0\) 处有定义，则必有 \(f(0)=0\)。
4. 周期性
- 定义：\(\exists T > 0, \forall x, f(x+T) = f(x)\)
- 最小正周期：通常指最小的正数 \(T\)（如 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)）。
复合函数与反函数
1. 复合函数
- 设 \(y = f(u), u = \varphi(x)\)，若 \(\varphi(x)\) 的值域包含在 \(f(u)\) 的定义域内，则：\[y = f[\varphi(x)] \]
- 分解技巧：由外向内逐层分解（如 \(y = \sin^2(x^2+1) \to y=u^2, u=\sin v, v=x^2+1\)）。
2. 反函数
- 若 \(y=f(x)\) 是双射（通常要求严格单调），则存在反函数 \(x = f^{-1}(y)\)。
- 习惯写法：将自变量仍写为 \(x\)，即 \(y = f^{-1}(x)\)。
- 图像关系：\(y=f(x)\) 与 \(y=f^{-1}(x)\) 关于 \(y=x\) 对称。
初等函数
1. 基本初等函数（5类）
- 幂函数：\(y = x^\alpha\)
- 指数函数：\(y = a^x \quad (a>0, a\neq 1)\)
- 对数函数：\(y = \log_a x\)
- 三角函数：\(\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x\)
- 反三角函数：\(\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \text{arccot } x\)
2. 初等函数定义
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数。
非初等函数例子：
- 分段函数
- 取整函数 \(y=[x]\)
- 符号函数 \(y=\text{sgn}(x)\)
- 狄利克雷函数 \(D(x)\)
数列极限的定义 (\(\varepsilon-N\) 语言)
1. 定义
当 \(n\) 无限增大时，数列 \(\{x_n\}\) 的项 \(x_n\) 无限接近于某个常数 \(a\)。
2. 严格定义 (\(\varepsilon-N\))
设 \(\{x_n\}\) 为一数列，\(a\) 为常数。若对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)（无论它多么小），总存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，不等式：
恒成立，则称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限，记作：
逻辑关系：
- \(\forall \varepsilon > 0\) （任意小，体现“无限接近”）
- \(\exists N \in \mathbb{N}^+\) （存在性，\(N\) 通常依赖于 \(\varepsilon\)，记作 \(N(\varepsilon)\)）
- 当 \(n > N\) 时，\(|x_n - a| < \varepsilon\) 成立
3. 几何意义
在数轴上，以 \(a\) 为中心，\(\varepsilon\) 为半径作邻域 \((a-\varepsilon, a+\varepsilon)\)。无论这个邻域多么窄，数列 \(\{x_n\}\) 从第 \(N+1\) 项开始，所有后续项都落在这个邻域内，只有有限个项（前 \(N\) 项）可能在外面。
收敛数列的性质
前提：以下性质均假设 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\) 存在。
1. 唯一性
若数列收敛，则其极限唯一。
反证法思路：假设极限为 \(a\) 和 \(b\) (\(a \neq b\))，取 \(\varepsilon = \frac{|a-b|}{2}\)，导出矛盾。
2. 有界性
若数列收敛，则它一定有界。
- 推论：无界数列必发散。（但注意：有界数列不一定收敛，如 \((-1)^n\)）
3. 保号性
若 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)，且 \(a > 0\)（或 \(a < 0\)），则存在正整数 \(N\)，当 \(n > N\) 时，恒有 \(x_n > 0\)（或 \(x_n < 0\)）。
应用：用于判断数列项的正负，或在不等式放缩中保留符号。
4. 保序性（推论）
若 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty} y_n = b\)，且 \(a > b\)，则存在 \(N\)，当 \(n > N\) 时，\(x_n > y_n\)。
数列极限的运算法则
设 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)，\(\lim_{n \to \infty} y_n = b\)，则：
- 加减法：\(\lim_{n \to \infty} (x_n \pm y_n) = a \pm b\)
- 乘法：\(\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = a \cdot b\)
- 除法：\(\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \quad (b \neq 0)\)
- 常数提取：\(\lim_{n \to \infty} C x_n = C a\)
运算法则的前提是两个极限都存在。若一个存在一个不存在，结果通常不存在（除特殊抵消情况外）。
数列极限存在的两个准则
1. 夹逼准则
若存在 \(N\)，当 \(n > N\) 时，满足：
且 \(\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} z_n = a\)，
则 \(\lim_{n \to \infty} x_n = a\)。
应用：证明 \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1\)，或处理求和式极限。
2. 单调有界准则
- 单调递增 + 有上界 \(\Rightarrow\) 收敛
- 单调递减 + 有下界 \(\Rightarrow\) 收敛
重要推论：单调无界数列必发散（发散至 \(\infty\)）。
应用：证明递推数列 \(x_{n+1} = f(x_n)\) 的极限存在。
两个重要极限
1. 第一个重要极限
注：这是数列形式，本质是无穷小 \(\frac{1}{n}\) 乘以有界量 \(\sin n\)
2. 第二个重要极限
推广形式：若 \(\alpha_n \to 0\) 且 \(\alpha_n \neq 0\)，则 \(\lim_{n \to \infty} (1 + \alpha_n)^{\frac{1}{\alpha_n}} = e\)
数列极限的相关计算
例1：课本课后题 T7
证明：
设数列 \(\{x_n\}\) 有界，又 \(\lim_{n \to \infty} y_n = 0\)，证明：\(\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0\)。
因为数列 \(\{x_n\}\) 有界，所以存在常数 \(M > 0\)，使得对一切 \(n\)，都有 \(|x_n| \le M\)。 因为 \(\lim_{n \to \infty} y_n = 0\)，根据极限定义，对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，恒有 \(|y_n - 0| < \frac{\varepsilon}{M}\)。 将上述两式结合。当 \(n > N\) 时：
\[|x_n y_n - 0| = |x_n| \cdot |y_n| \le M \cdot |y_n| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon \]
由数列极限的定义，\(\lim_{n \to \infty} x_n y_n = 0\)。
例2：课本课后题T8
对于数列 \({x_n}\) ，有 \(x_{2k-1}→a\)，$ (k→∞)$，与 \(x_{2k}→a\)，$ (k→∞)\(，求证：\)x_n→a\(，\)n→∞$
证明：
因为 \(\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = a\)，所以对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(K_1\)，当 \(k > K_1\) 时，有
又因为 \(\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a\)，对于上述同一个 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(K_2\)，当 \(k > K_2\) 时，有
取 \(N = \max\{2K_1 - 1, 2K_2\}\)，则当 \(n > N\) 时，分两种情况讨论：
若 \(n\) 为奇数，可设 \(n = 2k - 1\)。由 \(n > N \ge 2K_1 - 1\)，得 \(2k - 1 > 2K_1 - 1\)，即 \(k > K_1\)，从而
若 \(n\) 为偶数，可设 \(n = 2k\)。由 \(n > N \ge 2K_2\)，得 \(2k > 2K_2\)，即 \(k > K_2\)，从而
综上所述，对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，总存在正整数 \(N = \max\{2K_1 - 1, 2K_2\}\)，使得当 \(n > N\) 时，恒有
由数列极限的定义，得
证毕。
例3
已知 \(\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+a}{x-a} \right)^x = e^4\)，则 \(a =\) ______。
\(\lim_{x \to \infty} (\frac{x+a}{x-a})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2a}{x-a})^x\)
指数凑形：\(= \lim [(1 + \frac{2a}{x-a})^{\frac{x-a}{2a}}]^{\frac{2ax}{x-a}}\)。
底数 \(\to e\)，指数 \(\to 2a\)。结果 \(e^{2a} = e^4 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2\)。
数列求和的相关计算
思路
数列求和一般为 \(X_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{A(n, i)}{B(n, i)}\)，数列通项为 \(x_n = \frac{A(n, i)}{B(n, i)}\)，有两种思路：
- 找到两边数列 \(\{y_n\}, \{z_n\}\)，满足 \(y_n \le x_n \le z_n\)，然后利用 \(ny_n \le X_n \le nz_n\) 求解；
- 通过变形通项，利用夹逼准则，凑成定积分的形式进行求解。
例 1
通项为 \(\frac{n}{n^2 + i\pi}\)，分子分母都满足各项都是等价无穷小，按照思路 1，通过放缩 \(i\)，找到左右两个数列项即可。
由 \(n \cdot \frac{n}{n^2 + n\pi} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i\pi} \le n \cdot \frac{n}{n^2 + \pi}\)
因为 \(\lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{n}{n^2 + n\pi} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{n}{n^2 + \pi} = 1\)
可得 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i\pi} = 1\)
例 2
通项为 \(\frac{n+\frac{1}{i}}{n^2 + i^2}\)，这里和例 2 不同之处在于，虽然分子各项都是等价无穷小，但分母不是，所以不能直接消去 \(i\)，需要使用定积分进行计算。
补充：等价无穷小的判断标准为，\(i\) 的变化是否会影响到最高次的 \(n\) 的式子，如 \(i^2\) 可以成为 \(n^2\) 那么就会影响到 \(n^2\)
有 \(\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{n+\frac{1}{i}}{n^2 + i^2} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{n+1}{n^2 + i^2}\)
即 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n+\frac{1}{i}}{n^2 + i^2} = \frac{\pi}{4}\)
例 3
通项为 \(\frac{i^3}{n^4 + i^2 + i}\)，分母各项都是等价无穷小，分子则不满足，所以还是需要用定积分方式计算。
\(\sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4 + n^2 + n} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4 + i^2 + i} \le \sum_{i=1}^{n} \frac{i^3}{n^4}\)