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假币找零赚赔逻辑问题【数学建模】

news 2026/6/16 17:00:14

假币找零问题模型

问题描述

这类问题可以用统一的变量模型来解决，无论题目中的数字怎么变，都适用。

问题流程如下：

老板有意见成本（进价）为C CC商品，售价为P PP（通常P > 0 P > 0P>0）；
一位顾客前来购买商品，支付了面额为F FF的货币，且F ≥ P F \ge PF≥P（这样才需要找零）；
老板没有零钱，用这张面额为F FF的货币向邻居换了总面额同样为F FF的货币；
老板找零后，顾客拿走商品离开；
此后，邻居发现老板交换的货币是假币，要求老板赔偿，老板又赔偿了价值为F FF的货币。

问老板最终亏损多少。

问题求解

题目中常出现“向邻居换零钱，之后又赔给邻居”的情节。邻居先给老板F FF元真零钱，最后老板又赔给邻居F FF元真钱，邻居不亏不赚。这个环节对整个交易的净影响为0 00。

因此，可以直接去掉邻居，把过程简化为：

老板自己本来就有足够的零钱。他收下顾客的假币（价值为0 00），然后自己找出F − P F - PF−P元真钱给顾客，并把商品给了顾客。

简化后，从老板的角度看，他付出了两样东西：

一件商品，其真实成本为C CC
找零给顾客的现金F − P F - PF−P

这两样东西都被顾客用一张价值为0 00的假钱换走了，所以老板的实际经济损失就是两者之和。即

Loss = C + ( F − P ) = C + F − P \boxed{\text{Loss} = C + (F - P) = C + F - P}Loss=C+(F−P)=C+F−P

特殊情况

若P = C P = CP=C（成本等于售价），则亏损= C + F − C = F = C + F - C = F=C+F−C=F，正好是假币面额。
若F = P F = PF=P（不用找零），则亏损= C + 0 = C = C + 0 = C=C+0=C，损失就是白送一件商品。

图解法

用流量图表现如下：

去除价值为0 00的假钱流量，并抵消相同的输入输出流量后，可得

这和简化场景是相同的。

易错点

重复计算赔邻居的F FF：有人会列C + ( F − P ) + F C + (F-P) + FC+(F−P)+F，然后得到C + 2 F − P C + 2F - PC+2F−P，这就把邻居的过桥资金当成了额外损失。实际上，赔邻居的F FF中有P PP元是邻居之前给的找零剩下的，老板只自掏腰包补了F − P F-PF−P元，这个数刚好等于给顾客的找零。
用售价P PP代替成本C CC（把没赚到的利润当成损失）：商品的实际损失是C CC，不是P PP，必须用成本。除非题目问的是“比正常交易多亏多少”，否则标准问题只算实际资产损失，此时商品的实际损失为P PP。

问题扩展

两个陌生人（顾客A和顾客B）都去老板家买衣服，衣服成本18元，标价21元，顾客A掏了100元假币买，老板找不开，拿着这100元假币问顾客B换开钱（换121元零钱的同时卖出商品），顾客A的拿着衣服和找回的79元（均为真钱）走了。然后顾客B也拿着衣服和老板给的100元假钱走了，老板后来发现顾客B给的钱里有50元假钱，顾客A也发现自己手里的100元是假币，请问三人各赚多少，各亏多少？

问题来自赔赚假币智力题_51CTO博客_100元假钱的智力题，但原题找零逻辑存在些许问题，这里做了修改。

按流量图解法绘制图形：

删除假币流量

可以轻松看出（+ ++表示亏钱，− -−表示赚钱）
{ Loss A = − 98 Loss BOSS = + 46 Loss B = + 52 \begin{cases} \text{Loss}_\text{A} &= -98\\ \text{Loss}_\text{BOSS} &= +46\\ \text{Loss}_\text{B} &= +52 \end{cases}⎩⎨⎧LossALossBOSSLossB=−98=+46=+52