高中数学

Another : ArrowHaru

目录

• 解析几何
  • 圆锥曲线
    • 椭圆
      • 定义及标准方程
      • 基本性质
      • 焦点三角形
        • 第二定义

解析几何

圆锥曲线

椭圆

定义及标准方程

平面内到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为焦点 。焦点间的距离称为焦距。

当焦点位于 \(x\) 轴上时，标准方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)\)。

当焦点位于 \(y\) 轴上时，标准方程为 \(\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1\ (a > b > 0)\)。

基本性质

当焦点位于 \(x\) 轴上时，椭圆的性状如图：

1. 对称性：椭圆关于两坐标轴及原点对称。
2. 顶点：\(A'(-a,0),A(a,0),B'(0,-b),B(0,b)\)。\(A'A\) 称为长轴，\(B'B\) 称为短轴。椭圆的焦点应该落在长轴上。
3. 范围：设 \(P(x, y)\) 为椭圆上一点，\(x \in [-a, a], y \in [-b, b]\)。
4. 离心率：离心率 \(e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}\)。离心率越大椭圆越扁平。

焦点三角形

如图 \(P(x, y)\) 为椭圆上异于左右顶点上的一点，\(\triangle PF_1F_2\) 为椭圆的焦点三角形。记 \(\theta = \angle F_1PF_2\)。

1. 周长：\(C = |PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2a + 2c\)。

2. 面积：\(S = b^2\tan \dfrac{\theta}{2}\)。

   对 \(\triangle F_1PF_2\) 用余弦定理可以得到 \(|PF_1|\cdot|PF_2| = \dfrac{2b^2}{1+\cos \theta}\)。

   故 \(S_{\triangle PF_1F_2} = |PF_1|\cdot|PF_2|\cdot\sin \theta /2 = b^2/\tan \theta\)。

3. 内心：\(I\) 为 \(\triangle\)

第二定义

记 \(P(x, y)\) 为椭圆上任意一点，\(F_1, F_2\) 分别为椭圆的左右焦点，有 \(|PF_1|+|PF_2| = 2a\)。

有 \(|PF_1| = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}, |PF_2| = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}\)。