二自由度无阻尼自由振动 矩阵形式简洁推导（含给定算例）
一、矩阵形式运动微分方程
系统动力学方程：
\[\begin{cases}
m_1\ddot{x}_1+(k_1+k_2)x_1-k_2x_2=0\\
m_2\ddot{x}_2-k_2x_1+(k_2+k_3)x_2=0
\end{cases}
\]
写成矩阵标准形式：
\[\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
其中
质量矩阵：
\[\boldsymbol{M}=
\begin{bmatrix}
m_1 & 0\\
0 & m_2
\end{bmatrix},\quad
刚度矩阵：
\boldsymbol{K}=
\begin{bmatrix}
k_1+k_2 & -k_2\\
-k_2 & k_2+k_3
\end{bmatrix}
\]
二、特征值问题（固有频率求解）
设简谐解 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\phi}\cos\omega t\)，代入方程得：
\[(-\omega^2 \boldsymbol{M}+\boldsymbol{K})\boldsymbol{\phi}=\boldsymbol{0}
\]
非零解条件：特征方程
\[\det(\boldsymbol{K}-\omega^2 \boldsymbol{M})=0
\]
令 \(\lambda=\omega^2\)，则
\[\det(\boldsymbol{K}-\lambda \boldsymbol{M})=0
\]
解出两个特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\)，固有频率：
\[\omega_1=\sqrt{\lambda_1},\quad \omega_2=\sqrt{\lambda_2}
\]
三、模态振型（特征向量）
将 \(\lambda_1,\lambda_2\) 分别代入 \((\boldsymbol{K}-\lambda_i \boldsymbol{M})\boldsymbol{\phi}_i=\boldsymbol{0}\)，求得两阶特征向量（模态振型）：
\[\boldsymbol{\phi}_1=\begin{bmatrix}1\\r_1\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{\phi}_2=\begin{bmatrix}1\\r_2\end{bmatrix}
\]
振型矩阵：\(\boldsymbol{\Phi}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\phi}_1 & \boldsymbol{\phi}_2\end{bmatrix}\)
四、模态坐标变换与解耦
物理坐标与模态坐标变换：
\[\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{q}
\]
代入原方程，左乘 \(\boldsymbol{\Phi}^\mathrm{T}\)，利用振型关于质量、刚度正交性：
\[\boldsymbol{\Phi}^\mathrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{M}_\mathrm{diag},\quad
\boldsymbol{\Phi}^\mathrm{T}\boldsymbol{K}\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{K}_\mathrm{diag}
\]
得到解耦的对角形式模态方程：
\[\boldsymbol{M}_\mathrm{diag}\ddot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{K}_\mathrm{diag}\boldsymbol{q}=\boldsymbol{0}
\]
展开为两个独立单自由度方程：
\[\begin{cases}
M_1 \ddot{q}_1 + K_1 q_1 = 0\\
M_2 \ddot{q}_2 + K_2 q_2 = 0
\end{cases},\quad
\omega_i=\sqrt{\dfrac{K_i}{M_i}}
\]
五、数值算例（\(m_1=m,m_2=2m,\ k_1=k,k_2=k,k_3=2k\)）
1. 质量、刚度矩阵
\[\boldsymbol{M}=
\begin{bmatrix}
m & 0\\
0 & 2m
\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{K}=
\begin{bmatrix}
2k & -k\\
-k & 3k
\end{bmatrix}
\]
####### 2. 特征方程
\[\det\left(
\begin{bmatrix}
2k-\lambda m & -k\\
-k & 3k-2\lambda m
\end{bmatrix}
\right)=0
\]
展开：
\[(2k-m\lambda)(3k-2m\lambda)-k^2=0
\]
\[2m^2\lambda^2-7km\lambda+5k^2=0
\]
解得：
\[\lambda_1=\frac{k}{m},\ \lambda_2=\frac{5k}{2m}
\]
\[\omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{5k}{2m}}
\]
3. 模态振型
- 代入 \(\lambda_1=\dfrac{k}{m}\)：
\[(2k-m\cdot\tfrac{k}{m})\phi_{11}-k\phi_{21}=0\Rightarrow \phi_{21}=\phi_{11}
\]
取 \(\phi_{11}=1\)：
\[\boldsymbol{\phi}_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
\]
- 代入 \(\lambda_2=\dfrac{5k}{2m}\)：
\[\left(2k-m\cdot\tfrac{5k}{2m}\right)\phi_{12}-k\phi_{22}=0\Rightarrow \phi_{22}=-\tfrac12\phi_{12}
\]
取 \(\phi_{12}=2\)：
\[\boldsymbol{\phi}_2=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}
\]
振型矩阵：
\[\boldsymbol{\Phi}=
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix}
\]
-
模态解耦
坐标变换：
\[\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}1 & 2\\1 & -1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}
\]
正交变换后得到解耦方程：
\[\begin{cases}
\ddot{q}_1+\dfrac{k}{m}q_1=0\\
\ddot{q}_2+\dfrac{5k}{2m}q_2=0
\end{cases}
\]
5. 模态叠加
分别求解 \(q_1(t),q_2(t)\)，再通过 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{q}\) 叠加得到系统物理振动响应。
六、核心流程小结
- 建立 \(\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)；
- 求解特征方程 \(\det(\boldsymbol{K}-\lambda\boldsymbol{M})=0\) 得固有频率；
- 回代求特征向量（模态振型）；
- 振型矩阵做坐标变换，利用正交性解耦；
- 单自由度求解后模态叠加得到系统响应。