解析几何小专题

主要是讲大题的，基础知识和小题见上一个。

方法论综述

我如何做好「圆锥曲线压轴大题」？构图+翻译+计算!【方法论综述】

• 核心是啥？点、直线、曲线三者之间的关系。点与直线、点与曲线的解决方法是代入，直线与曲线的解决方法是联立！

• 关于联立：很关键的一步，联立直线与曲线得到一个一元二次方程，这个方程以及它的韦达定理就是整道大题的核心。

  注：还有个东西叫做齐次化联立，后面会写。一个简要概述是这个视频。用于解决出现斜率的积或和的问题。

• 终极方法论：构图 + 翻译 + 计算！

下面重点讲构图。

何为构图？不是画图，而是正确地设点、设线。只有学会构图才能极大地减少计算量。

如何构图？找出整个图形是因谁而动的，设它。

• 设线

这个题，如果认为因为 \(PQ\) 在动才导致了其他线也在动，则设线 \(PQ\)，那么只需要联立一次即可；如果认为 \(AP,AQ\) 在动，设这两条直线，就需要进行两次联立了。所以说构图真的非常重要！

当然，设了 \(PQ\) 之后齐次化联立也是很好的。

• 设点

这个题，很容易看出来是因为点 \(M\) 在动导致其他东西都在动，因此要设 \(M\)。

当然，有时候设点设线均可。两者的主要区别在于设点是以点的坐标 \(x_0,y_0\) 为变量，设线则是以直线 \(y=kx+m\) 的参数 \(k,m\) 为变量。

注：设点的时候，甚至都不需要联立和韦达定理，因为本来就没有设线，利用的曲线条件就是点在曲线上。

• 翻译：也是至关重要的一步，就是把题目的神秘几何条件翻译成人话（代数式子）。

（关于翻译，后面会有一个视频细说，这里就举几个例子。

直角：数量积 / 斜率。
三角形重心：重心坐标为三角形三定点的平均坐标。
圆的直径：等价于圆上的点与直径构成直角三角形，还是用数量积 / 斜率。根本不需要画出来这个圆。

注：上面左图中，据说根据垂径定理， \(\triangle PQG\) 中的直角只能为 \(\angle QPG\)，因为 \(QP\) 过椭圆中心。

• 计算：圆锥曲线大题总是伴随着好多计算的，提高计算能力有时候比学一些冷门的技巧更有性价比。

弦长问题

【圆锥曲线】每年高考都要考的「弦长面积」，请查收！

弦长就是一个线段 \(AB\) 的长度。可以之间两点间距离公式，但是题目通常不会想让我们这样做，所以更常用的是用直线 \(AB\) 的斜率来表示。

• 普通弦长公式（令 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，\(l_{AB}\) 斜率为 \(k\)）：

\[\sqrt {(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2) ^2} \\ \sqrt {1+k^2} \cdot |x_1-x_2| \\ \sqrt {1+\frac 1 {k^2}} \cdot |y_1-y_2| \\ \]

• 与曲线有关的弦长公式：先联立直线和曲线方程，得：
  \[Ax^2 + Bx + C = 0 \]
  通过韦达定理对普通弦长公式中的地位个进行整理，可得这个弦长公式（其中 \(\Delta = B^2 - 4AC\)）：
  \[\sqrt {1+k^2} \cdot \frac {\sqrt \Delta} {|A|} \]

关于这几个公式的限制条件，普通弦长公式只需要斜率存在即可，而与曲线有关的弦长公式则还要保证 \(A,B\) 都在曲线上。

下文把 \(\sqrt {1+k^2} \cdot |x_1-x_2| \\\) 称为公式 #1，\(\sqrt {1+k^2} \cdot \dfrac {\sqrt \Delta} {|A|}\) 称为公式 #2。

• 题型分类

固定弦长：直接求值。运动弦长：求最值，如果设弦的直线方程为 \(y=kx+m\)，那么最终弦长一定能转化成一个仅与 \(k,m\) 有关的表达式。弦长比例：根据相似，就是 \(y\) 坐标比例。

• 求定弦长

法一：列出来一大坨方程之后，发现里面非常恶心地带了根号，所以如果用公式 #2，就会出现根号套根号，非常恶心。

法二：不如先把 \(P\) 点坐标求出来，然后用公式 #1。为什么能求 \(P\) 点坐标呢？因为 \(A\) 点是定点，所以 \(P\) 点只能是定点，然后用那一大坨方程的韦达定理即可表示 \(x_A , x_P\) 的关系，进而点 \(P\) 坐标就有了。这是圆锥曲线里面非常常用的一个小 trick。

如何设直线简单：

1. 正设直线：如果过 \(y\) 轴上定点，设为 \(y=kx+m\)。注意需要分讨一下斜率不存在（竖直直线）。
2. 反设直线：如果过 \(x\) 轴上定点，设为 \(x=\lambda y+m\)。注意此时 \(\lambda = \frac 1 k\) 而不是斜率。同时类似地，也要分讨一下水平直线。
3. 硬设：如果过不在坐标轴上定点，只能列点斜式了。

注意：当反设直线时，得到的是一个关于 \(y\) 的一元二次方程，所以弦长公式 #2 也要跟着改变，变为（此时 \(A',\Delta'\) 等都是关于 \(y\) 的方程中的）：

\[\sqrt {1+ \lambda^2} \cdot \frac {\sqrt {\Delta'}} {|A'|} \]

• 求动弦长

对现在的我来说有点难度的一个题吧。

1. 因为交点在 \(x\) 轴上所以要反设直线，然后列一列方程和弦长公式，得到：

   \[|AC| = 2 \sqrt 3 \cdot \frac {\lambda^2 +1} {|\lambda^2-3|} \]

2. 这个绝对值太不好看了，能去掉吗？如果要去掉绝对值，就要求 \(\lambda^2-3\) 的取值范围。

   有什么约束吗？有的，因为直线是和双曲线右支有两个交点，所以两个交点 \(x\) 坐标都为正，但是因为我们列的是关于 \(y\) 的方程，所以用不了。

   我们还注意到另一个充要条件是两个交点 \(y\) 坐标异号！韦达定理用起来，就可以翻译成 \(y_1 \cdot y_2 < 0\)，可以解得 \(\lambda^2 - 3 < 0\)，于是绝对值就可以去掉了。

   \[|AC| = 2 \sqrt 3 \cdot \frac {\lambda^2 +1} {3-\lambda^2} \]

3. 同理得 \(|BD|\)：

   \[|BD| = 2 \sqrt 3 \cdot \frac {\mu^2 +1} {3-\mu^2} \]

   且根据垂直，可以得到斜率之积为 \(-1\)，对于反设直线也适用，有 \(\lambda \cdot \mu = -1\)。

4. 既然都表示出来了，写最终的式子就好了，可以先不用 \(\lambda\) 换掉 \(\mu\)，看看能不能先化简一下（然后发现并不能，于是只能直接换掉了）。

   \[\frac 1 {|AC|} + \frac 1 {|BD|} = \frac {3- \lambda^2} {2 \sqrt 3 (1+\lambda^2)} + \frac {3\lambda^2-1} {2 \sqrt 3 (1+\lambda^2)} = \frac {\sqrt 3} 3 \]

由这个题得到的启示：

1. 该反设直线的时候要果断反设，大大减少计算量。
2. 可以同理的时候一定要同理，计算量直接减半。