一、填空题
1. 连续性
题目： 已知函数 \(f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\left(\cos x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}, & x\ne 0,\\a, & x=0,\end{array}\right.\) 在 \(x=0\) 处连续，则 \(a=\) ______。
答案： \(e^{-\frac{1}{2}}\)。
解析： \(\lim_{x \to 0}\left(\cos x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{\ln \left(\cos x\right)}{x^{2}}}=e^{-\frac{1}{2}}\)。由连续性得 \(a=e^{-\frac{1}{2}}\)。
2. 二阶导数
题目： 设 \(y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^{2}}}\)，则 \(\left.y^{\prime\prime}\right|_{x=0}=\) ______。
答案： \(-\frac{3}{2}\)。
解析： \(y=\frac{1}{2}\left[\ln \left(1-x\right)-\ln \left(1+x^{2}\right)\right]\)，所以 \(y^{\prime}=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{1-x}-\frac{2x}{1+x^{2}}\right]\)，故 \(\left.y^{\prime\prime}\right|_{x=0}=-\frac{3}{2}\)。
3. 不定积分
题目： 求 \(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x\left(4-x\right)}}\)。
答案： \(2\arcsin \frac{\sqrt{x}}{2}+C\)，或 \(\arcsin \frac{x-2}{2}+C\)。
解析： \(\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x\left(4-x\right)}}=2\int \frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{2^{2}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}}}=2\arcsin \frac{\sqrt{x}}{2}+C\)。
4. 反常积分
题目： 求 \(\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+4x+8}\)。
答案： \(\frac{\pi}{8}\)。
解析： \(\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+4x+8}=\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}+2^{2}}=\left.\frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2}\right|_{0}^{+\infty}=\frac{\pi}{8}\)。
5. 向量组的秩
题目： 已知向量组 \(\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,2,-1,1\right)\)，\(\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(2,0,t,0\right)\)，\(\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(0,-4,5,-2\right)\) 的秩为 \(2\)，则 \(t=\) ______。
答案： \(3\)。
解析： 将 \(\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}\) 构成矩阵并作初等行变换，秩为 \(2\) 可得 \(\frac{1}{t+2}=\frac{1}{5}\)，故 \(t=3\)。
二、选择题
1. 同阶无穷小
题目： 设 \(x\to 0\) 时，\(e^{\tan x}-e^{x}\) 与 \(x^{n}\) 是同阶无穷小，则 \(n\) 为（ ）
A. \(1\)。
B. \(2\)。
C. \(3\)。
D. \(4\)。
答案： C。
解析： \(\lim_{x \to 0}\frac{e^{\tan x}-e^{x}}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}e^{x}\frac{e^{\tan x-x}-1}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-x}{x^{3}}=\frac{1}{3}\)，故 \(n=3\)。
2. 积分估计
题目： 设在闭区间 \(\left[a,b\right]\) 上 \(f\left(x\right)>0\)，\(f^{\prime}\left(x\right)<0\)，\(f^{\prime\prime}\left(x\right)>0\)。记 \(S_{1}=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{~d}x\)，\(S_{2}=f\left(b\right)\left(b-a\right)\)，\(S_{3}=\frac{1}{2}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]\left(b-a\right)\)，则（ ）
A. \(S_{1}<S_{2}<S_{3}\)。
B. \(S_{2}<S_{1}<S_{3}\)。
C. \(S_{3}<S_{1}<S_{2}\)。
D. \(S_{2}<S_{3}<S_{1}\)。
答案： B。
解析： 因 \(f\left(x\right)\) 单调递减，有 \(S_{2}<S_{1}\)；又因 \(f^{\prime\prime}\left(x\right)>0\)，梯形面积大于曲边梯形面积，故 \(S_{1}<S_{3}\)。因此 \(S_{2}<S_{1}<S_{3}\)。
3. 极值判定
题目： 已知函数 \(y=f\left(x\right)\) 对一切 \(x\) 满足 \(xf^{\prime\prime}\left(x\right)+3x\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}=1-e^{-x}\)，若 \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\left(x_{0}\ne 0\right)\)，则（ ）
A. \(f\left(x_{0}\right)\) 是 \(f\left(x\right)\) 的极大值。
B. \(f\left(x_{0}\right)\) 是 \(f\left(x\right)\) 的极小值。
C. \(\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)\) 是曲线 \(y=f\left(x\right)\) 的拐点。
D. \(f\left(x_{0}\right)\) 不是 \(f\left(x\right)\) 的极值，\(\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)\) 也不是曲线 \(y=f\left(x\right)\) 的拐点。
答案： B。
解析： 由题设得 \(f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1-e^{-x_{0}}}{x_{0}}\)。无论 \(x_{0}>0\) 或 \(x_{0}<0\)，均有 \(f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)>0\)，故 \(f\left(x_{0}\right)\) 为极小值。
4. 变限积分
题目： 设 \(F\left(x\right)=\int_{x}^{x+2\pi}e^{\sin t}\sin t\mathrm{~d}t\)，则 \(F\left(x\right)\)（ ）
A. 为正常数。
B. 为负常数。
C. 恒为零。
D. 不为常数。
答案： A。
解析： 因 \(e^{\sin t}\sin t\) 以 \(2\pi\) 为周期，所以 \(F\left(x\right)\) 为常数。又 \(F\left(x\right)=\int_{0}^{\pi}\left(e^{\sin t}-e^{-\sin t}\right)\sin t\mathrm{~d}t>0\)，故为正常数。
5. 复合函数
题目： 设函数 \(g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x\le 0,\\x+2, & x>0,\end{array}\right.\)，\(f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x<0,\\-x, & x\ge 0,\end{array}\right.\)，则 \(g\left[f\left(x\right)\right]=\)（ ）
A. \(\left\{\begin{array}{ll}2+x^{2}, & x<0,\\2-x, & x\ge 0.\end{array}\right.\)
B. \(\left\{\begin{array}{ll}2-x^{2}, & x<0,\\2+x, & x\ge 0.\end{array}\right.\)
C. \(\left\{\begin{array}{ll}2-x^{2}, & x<0,\\2-x, & x\ge 0.\end{array}\right.\)
D. \(\left\{\begin{array}{ll}2+x^{2}, & x<0,\\2+x, & x\ge 0.\end{array}\right.\)
答案： D。
解析： 当 \(x<0\) 时，\(f\left(x\right)=x^{2}>0\)，故 \(g\left[f\left(x\right)\right]=2+x^{2}\)；当 \(x\ge 0\) 时，\(f\left(x\right)=-x\le 0\)，故 \(g\left[f\left(x\right)\right]=2+x\)。
三、计算题
1. 极限
题目： 求极限 \(\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+x-1}+x+1}{\sqrt{x^{2}+\sin x}}\)。
解析： 分子分母同除以 \(\left|x\right|=-x\)，得 \(\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^{2}}}}=1\)。
2. 参数方程求导
题目： 设函数 \(y=y\left(x\right)\) 由 \(\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\2y-ty^{2}+e^{t}=5\end{array}\right.\) 所确定，求 \(y^{\prime}\)。
解析： 对 \(2y-ty^{2}+e^{t}=5\) 关于 \(t\) 求导，得 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{e^{t}-y^{2}}{2\left(ty-1\right)}\)。又 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{1+t^{2}}\)，所以 \(y^{\prime}=\frac{\left(e^{t}-y^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}{2\left(ty-1\right)}\)。
3. 不定积分
题目： 计算 \(\int e^{2x}\left(\tan x+1\right)^{2}\mathrm{~d}x\)。
解析： 因为 \(\left(\tan x+1\right)^{2}=\sec^{2}x+2\tan x\)，所以 \(\int e^{2x}\left(\tan x+1\right)^{2}\mathrm{~d}x=\int e^{2x}\left(\sec^{2}x+2\tan x\right)\mathrm{~d}x=e^{2x}\tan x+C\)。
4. 全微分方程
题目： 求微分方程 \(\left(3x^{2}+2xy-y^{2}\right)\mathrm{d}x+\left(x^{2}-2xy\right)\mathrm{d}y=0\) 的通解。
解析： 令 \(P=3x^{2}+2xy-y^{2}\)，\(Q=x^{2}-2xy\)，则 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x-2y\)，故为全微分方程。积分得通解 \(x^{3}+x^{2}y-xy^{2}=C\)，其中 \(C\) 为任意常数。
5. 二阶线性微分方程
题目： 已知 \(y_{1}=xe^{x}+e^{2x}\)，\(y_{2}=xe^{x}+e^{-x}\)，\(y_{3}=xe^{x}+e^{2x}-e^{-x}\) 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解析： 由 \(y_{1}-y_{3}=e^{-x}\)，\(y_{1}-y_{2}=e^{2x}-e^{-x}\)，知对应齐次方程特征根为 \(-1,2\)，故齐次方程为 \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0\)。以 \(xe^{x}\) 为特解，代入得非齐次项为 \(\left(1-2x\right)e^{x}\)，故所求方程为 \(y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=\left(1-2x\right)e^{x}\)。
6. 矩阵计算
题目： 已知矩阵 \(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\)，且 \(\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}\)，其中 \(\boldsymbol{E}\) 是 \(3\) 阶单位矩阵，求矩阵 \(\boldsymbol{B}\)。
解析： 由 \(\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}\)，得 \(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{-1}\)。又 \(\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & -2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\)，所以 \(\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\)。
四、线性方程组
题目： \(\lambda\) 取何值时，方程组 \(\left\{\begin{array}{l}2x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=1,\\\lambda x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\4x_{1}+5x_{2}-5x_{3}=-1\end{array}\right.\) 无解，有唯一解或者有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。
解析： 系数行列式 \(\left|\boldsymbol{A}\right|=\begin{vmatrix}2 & \lambda & -1\\\lambda & -1 & 1\\4 & 5 & -5\end{vmatrix}=\left(\lambda-1\right)\left(5\lambda+4\right)\)。当 \(\lambda\ne 1\) 且 \(\lambda\ne -\frac{4}{5}\) 时，方程组有唯一解；当 \(\lambda=-\frac{4}{5}\) 时，方程组无解；当 \(\lambda=1\) 时，方程组有无穷多解，通解为 \(\boldsymbol{X}=k\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}\)，其中 \(k\) 为任意常数。
五、极坐标曲线
题目： 设曲线 \(L\) 的极坐标方程为 \(r=r\left(\theta\right)\)，\(M\left(r,\theta\right)\) 为 \(L\) 上任一点，\(M_{0}\left(2,0\right)\) 为 \(L\) 上一定点。若极径 \(OM_{0},OM\) 与曲线 \(L\) 所围成的曲边扇形面积恒等于 \(L\) 上 \(M_{0},M\) 两点间弧长值的一半，求曲线 \(L\) 的方程。
解析： 由题设，\(\frac{1}{2}\int_{0}^{\theta}r^{2}\left(\theta\right)\mathrm{~d}\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\theta}\sqrt{r^{2}\left(\theta\right)+r^{\prime 2}\left(\theta\right)}\mathrm{~d}\theta\)。两边对 \(\theta\) 求导，得 \(r^{2}=\sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}}\)，即 \(\frac{\mathrm{d}r}{r\sqrt{r^{2}-1}}=\pm \mathrm{d}\theta\)。由 \(r\left(0\right)=2\)，得 \(r=\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{6}\pm \theta\right)}\)，即直角坐标方程为 \(x\pm \sqrt{3}y=2\)。
六、面积与旋转体体积
题目： 设函数 \(f\left(x\right)\) 在闭区间 \(\left[0,1\right]\) 上连续，在开区间 \(\left(0,1\right)\) 内大于零，并满足 \(xf^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{3a}{2}x^{2}\)，其中 \(a\) 为常数。又曲线 \(y=f\left(x\right)\) 与 \(x=1,y=0\) 所围图形 \(S\) 的面积值为 \(2\)，求函数 \(y=f\left(x\right)\)，并问 \(a\) 为何值时，图形 \(S\) 绕 \(x\) 轴旋转一周所得的旋转体体积最小。
解析： 由 \(xf^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{3a}{2}x^{2}\)，得 \(f\left(x\right)=Cx+\frac{3a}{2}x^{2}\)。又 \(\int_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{~d}x=2\)，得 \(C=4-a\)，故 \(f\left(x\right)=\left(4-a\right)x+\frac{3a}{2}x^{2}\)。旋转体体积 \(V\left(a\right)=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(4-a\right)x+\frac{3a}{2}x^{2}\right]^{2}\mathrm{~d}x\)，由 \(V^{\prime}\left(a\right)=0\) 得 \(a=-5\)，此时体积最小，且 \(f\left(x\right)=9x-\frac{15}{2}x^{2}\)。
七、函数连续性与导数
题目： 设函数 \(f\left(x\right)\) 连续，\(\varphi\left(x\right)=\int_{0}^{1}f\left(xt\right)\mathrm{~d}t\)，且 \(\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}=A\)，其中 \(A\) 为常数，求 \(\varphi^{\prime}\left(x\right)\) 并讨论 \(\varphi^{\prime}\left(x\right)\) 在 \(x=0\) 处的连续性。
解析： 由 \(\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}=A\)，得 \(f\left(0\right)=0\)。当 \(x=0\) 时，\(\varphi\left(0\right)=0\)；当 \(x\ne 0\) 时，\(\varphi\left(x\right)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t\)。故 \(\varphi^{\prime}\left(0\right)=\frac{A}{2}\)；当 \(x\ne 0\) 时，\(\varphi^{\prime}\left(x\right)=\frac{xf\left(x\right)-\int_{0}^{x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t}{x^{2}}\)。又 \(\lim_{x \to 0}\varphi^{\prime}\left(x\right)=\frac{A}{2}=\varphi^{\prime}\left(0\right)\)，故 \(\varphi^{\prime}\left(x\right)\) 在 \(x=0\) 处连续。
八、方程根的个数
题目： 就 \(k\) 的不同取值情况，确定方程 \(x-\frac{\pi}{2}\sin x=k\) 在开区间 \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) 内根的个数，并证明你的结论。
解析： 设 \(F\left(x\right)=x-\frac{\pi}{2}\sin x\)，则 \(F^{\prime}\left(x\right)=1-\frac{\pi}{2}\cos x\)。令 \(x_{0}=\arccos \frac{2}{\pi}\)，则 \(F\left(x\right)\) 在 \(\left(0,x_{0}\right)\) 内单调减少，在 \(\left(x_{0},\frac{\pi}{2}\right)\) 内单调增加。设 \(y_{0}=F\left(x_{0}\right)=x_{0}-\frac{\pi}{2}\sin x_{0}\)，则 \(y_{0}<0\)，且 \(F\left(0\right)=F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)。因此：当 \(k<y_{0}\) 或 \(k\ge 0\) 时，方程无根；当 \(k=y_{0}\) 时，方程有唯一根；当 \(y_{0}<k<0\) 时，方程有两个不同的根。