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混合系统不变集计算：理论与机器人应用

news 2026/6/23 15:45:33

1. 混合系统不变集计算的核心挑战

在动力系统分析领域，不变集（Invariant Set）就像是一个安全的"力场"——一旦系统状态进入这个区域，就会永远停留在其中。这个概念在研究系统鲁棒性时至关重要，特别是对于足式机器人这类需要稳定周期性运动的系统。想象一下双足机器人行走时，每条腿的摆动和触地都构成一个复杂的动力学过程，不变集就是保证它不会摔倒的数学边界。

传统连续系统的不变集计算已经发展出多种方法，比如基于Lyapunov函数、SOS（Sum-of-Squares）规划和Hamilton-Jacobi方程的技术。但当系统包含离散跳变（如机器人足部与地面碰撞）时，问题就变得棘手了。这类混合系统（Hybrid Systems）的不变集计算面临三大难题：

维度灾难：SOS方法需要求解半定规划，其计算复杂度随系统维度呈组合爆炸增长。即使是简单的双足机器人模型（4维状态空间），传统方法也需要数小时计算。
跳变传播：离散的碰撞事件会导致状态突变，如何准确捕捉这种非线性跳变对可达集的影响？就像预测台球碰撞后轨迹一样，需要考虑能量损失和角度变化。
紧致性保持：多次跳变会导致误差累积，就像复印件的复印件，每次传递都会损失精度。如何避免集合在传播过程中过度膨胀？

关键洞见：我们的解决方案采用参数化嵌入技术，将复杂的非线性动态包裹在线性微分包含（LDI）的"外衣"中。这就像用可调节大小的椭圆气泡包裹真实轨迹，既保证完全覆盖，又避免过度保守。

2. 参数化可达性理论框架

2.1 混合系统建模基础

我们考虑的混合系统模型包含两个部分：

# 连续动态（摆动相） def continuous_flow(x, u): dxdt = f(x, u) # 连续向量场 return dxdt # 离散跳变（触地相） def reset_map(x_pre, v): x_post = Δ(x_pre, v) # 重置映射 return x_post

其中触发跳变的守卫面（Guard Surface）S定义为满足h(x)=0且ẋ<0的状态集合。这就像设定一个"绊线"——当机器人脚部触地（h(x)=0）且速度向下（ẋ<0）时，触发步态切换。

2.2 范数拓扑与线性包含

我们采用ℓ₂-范数拓扑（Normotope）表示可达集：

J˚x, α, yK₂ = {x | ∥α(x-˚x)∥₂ ≤ y}

这实际上是以˚x为中心、α决定形状、y控制大小的椭球。其精妙之处在于：

形状自适应：通过动态调整α矩阵，椭球可以拉伸旋转以适应系统动态
微分包含：用一组矩阵{Mᵢ}的凸包包含非线性动态的variation：
```
f(x) - f(˚x) ∈ co{Mᵢ}(x - ˚x)
```

2.3 不变性验证定理

我们的核心理论贡献是Theorem 1，它给出了验证范数拓扑不变性的完整条件。简单来说需要检查：

穿越性：椭球必须完全穿越守卫面，不能卡在半路
包含性：跳变后的集合必须被原始集合包含
横向性：轨迹与守卫面的交角不能为零（避免滑模）

这就像验证一个肥皂泡通过铁环后：

泡泡必须完全通过铁环（不能部分卡住）
穿过后的泡泡要能缩回原始大小
穿过时不能平行接触（否则会破裂）

3. 算法实现与工程优化

3.1 基于JAX的硬件加速

我们构建的immrax库充分利用JAX三大特性：

import jax import immrax # 自动微分计算雅可比矩阵 jacobian_fn = jax.jacfwd(reset_map) # 硬件加速的区间运算 reach_set = immrax.normotope_propagate(dynamics, init_set) # 可微分的守卫面检测 guard_cond = lambda x: h(x) == 0 event_fn = immrax.make_event_fn(guard_cond)

实测表明，在NVIDIA RTX 3090上，4维系统的可达集计算仅需19秒，比传统CPU实现快50倍。

3.2 双足机器人应用实例

以简化双足模型为例（图3），关键技术步骤包括：

坐标变换：通过ϕ(x)=[r, tanθ, ṙ, θ̇/cos²θ]将弯曲的守卫面拉直
轨迹优化：用单射击法生成周期步态，IPOPT求解器处理物理约束
控制器设计：
- 离散步态控制器：LQR稳定化步态映射
- 连续跟踪控制器：通过我们的可微框架自动优化

# 双级优化控制器设计 def bilevel_optimize(α_init, K_init): for _ in range(20): # 内层：固定α优化K K_grad = jax.grad(cost_fn)(K_current) K_new = K_current - 0.5*K_grad # 外层：缩放α s_max = bisect_find_max_scale(α_current, K_new) α_new = α_current / s_max return α_new, K_new