基于QUBO模型的量子计算在信用评分卡组合优化中的应用研究

基于QUBO模型的量子计算在信用评分卡组合优化中的应用研究

2023年MathorCup高校数学建模挑战赛A题完整解决方案

摘要：本文针对2023年MathorCup高校数学建模挑战赛A题，研究了量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用问题。在银行信用卡业务中，如何通过合理选择信用评分卡及其阈值来最大化银行最终收入，是一个典型的组合优化问题。本文首先对问题进行了深入分析，建立了基于二次无约束二值优化（QUBO）的数学模型。针对问题一（单卡最优阈值选择），构建了含1000个二值变量的QUBO模型，通过穷举法求得最优解为信用评分卡49、阈值1，最终收入达61,172.00元。针对问题二（固定三张卡的最优阈值组合），建立了含30个二值变量的QUBO模型，通过遍历所有1000种组合，求得最优阈值为卡1取阈值8、卡2取阈值1、卡3取阈值2，最终收入为27,914.82元。针对问题三（从100张卡中任选3张及阈值），由于搜索空间高达约1.62×108种组合，设计了基于Metropolis准则的模拟退火启发式算法，通过多次独立运行收敛到稳定最优解：选定信用评分卡33、8、49，对应阈值分别为6、2、3，最终收入为43,880.97元。本文详细推导了每个问题的QUBO转化过程，包括约束的惩罚函数嵌入方法，并给出了完整的数值实验与结果分析，验证了模型的有效性和算法的收敛性。

关键词：信用评分卡；组合优化；QUBO模型；量子计算；模拟退火；二次无约束二值优化

一、问题重述

1.1 背景介绍

在银行信用卡或相关的贷款等业务中，对客户授信之前，需要先通过各种审核规则对客户的信用等级进行评定，通过评定后的客户才能获得信用或贷款资格。规则审核过程实际是经过一重或者多重组合规则后对客户进行打分，这些规则被称为信用评分卡。每个信用评分卡有多种阈值设置（但只有一个阈值生效），不同的信用评分卡在不同的阈值下对应不同的通过率和坏账率。一般通过率越高，坏账率也会越高；反之，通过率越低，坏账率也越低。

对银行而言，通过率越高，通过贷款资格审核的客户数量就越多，银行获得的利息收入也越多。但高通过率一般对应着高坏账率，而坏账意味着资金的损失风险。因此，银行最终收入定义为：

最终收入=贷款利息收入−坏账损失\text{最终收入} = \text{贷款利息收入} - \text{坏账损失}最终收入=贷款利息收入−坏账损失

1.2 已知条件

1.3 需解决的问题

• 问题1：在100个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。
• 问题2：已选定信用评分卡1、2、3，如何设置阈值使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。
• 问题3：从100个信用评分卡中任选取3种，设置合理阈值使最终收入最多。建模并转为QUBO形式求解。

二、问题分析

2.1 核心经济指标推导

设选定了mmm张信用评分卡，第jjj张卡选定的阈值对应的通过率为tjt_jtj​，坏账率为hjh_jhj​。根据题意：

T=∏j=1mtj(总通过率)T = \prod_{j=1}^{m} t_j \quad \text{(总通过率)}T=j=1∏m​tj​(总通过率)

H=1m∑j=1mhj(总坏账率)H = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} h_j \quad \text{(总坏账率)}H=m1​j=1∑m​hj​(总坏账率)

贷款利息收入：

利息收入=1,000,000×0.08×T×(1−H)\text{利息收入} = 1,000,000 \times 0.08 \times T \times (1 - H)利息收入=1,000,000×0.08×T×(1−H)

坏账损失：

坏账损失=1,000,000×T×H\text{坏账损失} = 1,000,000 \times T \times H坏账损失=1,000,000×T×H

因此，银行最终收入为：

R=T×(80,000−1,080,000×H)\boxed{R = T \times (80,000 - 1,080,000 \times H)}R=T×(80,000−1,080,000×H)​

或等价地：

R=80,000⋅T−1,080,000⋅T⋅HR = 80,000 \cdot T - 1,080,000 \cdot T \cdot HR=80,000⋅T−1,080,000⋅T⋅H

2.2 QUBO模型概述

二次无约束二值优化（QUBO）模型标准形式为：

min⁡y=xTQx=∑i∑jQijxixj\min y = x^T Q x = \sum_{i} \sum_{j} Q_{ij} x_i x_jminy=xTQx=i∑​j∑​Qij​xi​xj​

其中xi∈{ 0,1}x_i \in \{0,1\}xi​∈{0,1}为二值决策变量，QQQ为系数矩阵。

关键转化技巧：对于约束g(x)=0g(x)=0g(x)=0，采用惩罚项P⋅g(x)2P \cdot g(x)^2P⋅g(x)2嵌入目标函数。

三、模型假设与符号说明

3.1 模型假设

1. 贷款资金固定为100万元，利息收入率固定为8%
2. 各信用评分卡审核结果相互独立
3. 总坏账率为各卡坏账率的算术平均
4. 每张信用评分卡有且只能选择一个阈值
5. 银行以最终收入最大化为唯一决策目标

3.2 符号说明

四、问题一的建模与求解

4.1 整数规划模型

决策变量：xi,k∈{ 0,1}x_{i,k} \in \{0,1\}xi,k​∈{0,1}，i=1,...,100i=1,...,100i=1,...,100，k=1,...,10k=1,...,10k=1,...,10

目标函数：

max⁡R=∑i=1100∑k=110xi,k⋅ti,k⋅(80,000−1,080,000⋅hi,k)\max R = \sum_{i=1}^{100} \sum_{k=1}^{10} x_{i,k} \cdot t_{i,k} \cdot (80,000 - 1,080,000 \cdot h_{i,k})maxR=i=1∑100​