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用SymPy自动求解追及问题的方程

news 2026/6/29 16:53:06

痛点场景还原

假设做一个最经典的追及动画：甲从原点出发，速度 v1=2；乙从 x=10 处同向出发，速度 v2=5，问多久追上。

如果用纯手工方式写Manim：

class PainfulCatchUp(Scene): def construct(self): # 手动列方程并求解 # 设 t 为乙出发后的时间，甲的位置：2*(t+?)，乙的位置：10+5*t # 如果同时出发：2t = 10+5t → t = -10/3 负数无意义 # 改甲先出发2秒：2(t+2) = 10+5t → 2t+4=10+5t → -3t=6 → t=-2 还是负 # 必须反复调整题设，手算满足实际情况的初始条件 # 这里干脆让乙追甲，甲在乙前面： # 甲在x=10以v=2向前，乙在x=0以v=5同时出发 → 5t = 10+2t → 3t=10 → t=10/3 v1, v2 = 2, 5 t_meet = 10/3 # 手动解出的结果 meet_x = 5 * t_meet # 再手动算相遇位置 # 甲和乙的轨迹只能硬编码 def pos1(t): return 10 + v1 * t def pos2(t): return v2 * t # 然后创建动画……

痛点很明显：

每次改变速度或初始距离，都要重新手写方程、求解、算相遇坐标。
题目条件稍微变化（比如“甲先走1分钟”、“乙在中途休息”），手算的过程就得全部推翻重来。
容易在单位换算、正方向等细节上出错，动画一旦跑起来发现不对，排查起来也费劲。

这些计算本质上就是根据文字描述建立代数方程并求解，正是SymPy最擅长的事。

2. SymPy 解决方案介绍

SymPy可以让我们用符号把追及问题“翻译”成方程，然后自动求解。

import sympy as sp # 符号定义：t 为乙出发后经过的时间 t = sp.symbols('t', positive=True) v1, v2 = 2, 5 # 速度 s0 = 10 # 初始距离（甲在乙前面10米） # 甲的位置：先出发0秒（即同时出发），位置 = s0 + v1*t pos1 = s0 + v1 * t # 乙的位置：从0开始，位置 = v2*t pos2 = v2 * t # 相遇条件：位置相等 eq = sp.Eq(pos1, pos2) solution = sp.solve(eq, t) # 输出: [10/3]

如果甲先出发 2 秒，方程只需改一下：

t_delay = 2 # 甲早出发2秒 pos1 = s0 + v1 * (t + t_delay) # 甲多走2秒 eq = sp.Eq(pos1, pos2) solution = sp.solve(eq, t) # 输出: [14/3]

无论怎么变化，我们只需要修改符号表达式的构建逻辑，求解交给solve，相遇坐标直接代入即可。

接下来把这个思想嵌入Manim，动画就能自适应任意追及条件。

3. Manim 联动实战

下面是一个完整的动画场景：给定甲、乙的初始位置、速度和出发延迟，自动计算相遇点，并动态展示追及过程。

from manim import * import sympy as sp class CatchUpLab(Scene): def construct(self): # ========== 题目参数（任意修改这里即可） ========== v1 = 1.5 # 甲的速度 v2 = 2.5 # 乙的速度 init_gap = 8 # 初始距离（甲在乙前面） delay = 1 # 甲早出发的时间 # ========== SymPy 自动求解 ========== t = sp.symbols("t", positive=True) pos1_expr = init_gap + v1 * (t + delay) # 甲的位置 pos2_expr = v2 * t # 乙的位置 eq = sp.Eq(pos1_expr, pos2_expr) t_meet = sp.solve(eq, t)[0] # 精确解 meet_x = float(pos2_expr.subs(t, t_meet)) # 相遇位置 # 为了动画流畅，预先计算两个运动函数（可以直接用lambda） def pos1_func(time): return init_gap + v1 * (time + delay) def pos2_func(time): return v2 * time # ========== 场景搭建 ========== axes = NumberLine( x_range=[0, 30, 5], length=8, include_numbers=True, label_direction=DOWN, ) self.play(Create(axes)) # 甲和乙的点 dot1 = Dot(color=RED, radius=0.2) dot2 = Dot(color=BLUE, radius=0.2) # 初始放置 dot1.move_to(axes.number_to_point(pos1_func(0))) dot2.move_to(axes.number_to_point(pos2_func(0))) self.add(dot1, dot2) # 标签 label1 = Text("甲", color=RED).next_to(dot1, UP * 2) label2 = Text("乙", color=BLUE).next_to(dot2, UP * 2) self.add(label1, label2) # 轨迹虚线（预留） trace1 = TracedPath(dot1.get_center, stroke_color=RED, stroke_width=2) trace2 = TracedPath(dot2.get_center, stroke_color=BLUE, stroke_width=2) self.add(trace1, trace2) # 相遇点标记（先隐藏，等追到时再显示） meet_dot = Dot(point=axes.number_to_point(meet_x), color=YELLOW) meet_label = Text(f"相遇点: {meet_x:.2f}", font_size=24, color=YELLOW) meet_label.next_to(meet_dot, UP * 1.5) # 动态更新的时间显示 time_text = MathTex("t=0.0").shift(UL * 2) self.add(time_text) # 追击动画 total_time = float(t_meet) + 2 # 多跑2秒 def update_dots(mob, alpha): # alpha 从0到1，对应时间从0到total_time t_now = alpha * total_time dot1.move_to(axes.number_to_point(pos1_func(t_now))) dot2.move_to(axes.number_to_point(pos2_func(t_now))) # 更新标签位置 label1.next_to(dot1, UP * 2) label2.next_to(dot2, UP * 2) # 更新时间显示 time_text.become(MathTex(f"t={t_now:.1f}").shift(UL * 2)) # 判断是否到达相遇点 if t_now >= float(t_meet): self.add(meet_dot, meet_label) # 显示相遇标记 self.play( UpdateFromAlphaFunc( VGroup(dot1, dot2, label1, label2, time_text), update_dots, run_time=total_time, rate_func=linear, ) ) self.wait(1)

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