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深入浅出理解卷积的概念

news 2026/7/1 2:09:31

前言

在信号处理中，卷积是一种必学的数学计算技巧。但是由于在学习卷积的过程中需要不断接触许多较为复杂的公式，本人在学习卷积的过程中发现网上虽然有很多关于卷积的通俗解释，但是关于不少细节上仍然缺少通俗易懂的例子，初学者学习完后或许会出现一知半解的情况，故写下此文章用通俗易懂的方式解释卷积。

常见数学形式

连续卷积

对于两个连续函数f(t)f(t)f(t)和h(t)h(t)h(t)，其卷积定义为：

(f∗h)(t)=∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ (f * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \, h(t - \tau) \, d\tau(f∗h)(t)=∫−∞∞f(τ)h(t−τ)dτ

离散卷积

对于两个离散序列f[n]f[n]f[n]和h[n]h[n]h[n]，其卷积定义为：

(f∗h)[n]=∑k=−∞∞f[k] h[n−k] (f * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k] \, h[n - k](f∗h)[n]=k=−∞∑∞f[k]h[n−k]

卷积数学公式的简单理解

在深入理解卷积之前，只需简单记住：卷积其实就是在以时间为自变量的函数图像上一个原地不动的系统响应h(t)h(t)h(t)(连续形式)、h[n]h[n]h[n](离散形式)与一个反转的未经处理的输入序列f(t)f(t)f(t)(连续形式)、f[n]f[n]f[n](离散形式)相乘后乘积的累加。

以上概念只需简单记住就行，后续会围绕以上概念解释卷积。

卷积的运算流程

卷积的数学公式看着复杂，其实如果能结合图像理解的话会简单很多。

视角一：数据不动，反转的核滑动

直觉：把卷积核想象成一个固定好顺序的“操作序列”（例如最新的输入乘h[0]h[0]h[0]、前一个乘h[1]h[1]h[1]、再前一个乘h[2]h[2]h[2]…）。为了让这个序列按时间正序作用在数据上，我们需要先将核反转，然后让它像一列反向滑过的窗口，依次覆盖数据。

数学公式：

y[n]=∑kx[k]h[n−k] y[n] = \sum_{k} x[k]h[n - k]y[n]=k∑x[k]h[n−k]

x[k]x[k]x[k]是固定不动的信号（通常索引 k 从 0 开始）。
h[k]h[k]h[k]先被反转（变成h[−k]h[−k]h[−k]），再平移 n，形成滑动窗口h[n−k]h[n−k]h[n−k]。
对应动画：红色反转核[h[2], h[1], h[0]]从左向右滑过蓝色数据。

视角二：核不动，反转的数据滑动

直觉：把卷积核视为一个“固定的接收器”，每一时刻我们只关心当前输入x[n]x[n]x[n]对准h[0]h[0]h[0]。为了同时看到多个过去的输入，我们把整个数据序列反转，然后整体滑动，让当前时刻的样本x[n]x[n]x[n]正好对准h[0]h[0]h[0]，更早的样本则依次对准h[1]h[1]h[1],h[2]h[2]h[2]…。

数学公式：

y[n]=∑kx[n−k]h[k] y[n] = \sum_{k} x[n - k]h[k]y[n]=k∑x[n−k]h[k]

固定核h[k]h[k]h[k]（索引 k=0,1,2… 对应权重h[0]h[0]h[0],h[1]h[1]h[1],h[2]h[2]h[2]）。
反转后的数据为x[n−k]x[n−k]x[n−k]：当k=0k=0k=0时是当前输入x[n]x[n]x[n]，k=1k=1k=1时为上一时刻输入x[n−1]x[n−1]x[n−1]，以此类推。
对应动画：蓝色反转数据[x[4], x[3], x[2], x[1], x[0]]从左向右滑动，使x[n]x[n]x[n]始终对准红色的 h[0]。

为何两种视角等价？—— 交换律

卷积的交换律保证了两种顺序的积分/求和结果完全相同：

(x∗h)[n]=∑kx[k]h[n−k]=∑kx[n−k]h[k]=(h∗x)[n] (x*h)[n] = \sum_{k} x[k]h[n - k] = \sum_{k} x[n - k]h[k] = (h*x)[n](x∗h)[n]=k∑x[k]h[n−k]=k∑x[n−k]h[k]=(h∗x)[n]