电流环PI参数自整定及时域频域分析

KP​+sKI​​(1-5)

SVPWM调制模块的近似传递函数，这是零阶保持器（ZOH）的一阶惯性近似，对应 PWM 更新带来的半拍延迟：

����0.5���+1(1-6)0.5Ts​s+1Kpwm​​(1-6)

以及离散系统带来的一拍延迟，这是数字控制中采样 / 计算延迟的一阶惯性近似：

1���+1(1-7)Ts​s+11​(1-7)

其中Kpwm不考虑非线性情况下，理想化等于1。

这里呢，再做一步简化，如图2所示，将调制模块和一拍延迟也近似整合。

这里解释下为什么，正常来讲，式1-6和1-7两个串联，应该是

�串=����(0.5���+1)(���+1)=����0.5��2�2+1.5���+1(1-8)G串​=(0.5Ts​s+1)(Ts​s+1)Kpwm​​=0.5Ts​2s2+1.5Ts​s+1Kpwm​​(1-8)

近似的核心依据：数字控制中，电流环采样周期 Ts 通常远小于电机的电气时间常数��=��τe​=RL​，且系统闭环带宽 ��ωc​ 远低于 1/Ts。

此时：在系统工作频率 ω≪1/Ts 范围内，���Ts​ω ≪1，因此 0.5��2�20.5Ts​2s2（二次项）的模值远小于1.5���1.5Ts​s（一次项），所以可以忽略二次项。也就是

�近似=����1.5���+1(1-9)G近似​=1.5Ts​s+1Kpwm​​(1-9)

到这一步呢，我们食材准备妥当了，接下来梳理下如何去实现PI参数自整定的目标。

首先，依据陈伯时老师的《电力拖动自动控制系统--运动控制系统（第5版）》中p64-67章节4.3.2阐述的理论--工程整定法，

针对典型I型系统，其开环传递函数如1-10，书中p67表4-1中一般取用�ζ=0.707，即KT=0.5的参数作为最佳整定。

这就是我们进行参数自整定的核心依据，也是我们推导的目标（文章第二部分另行补充证明为什么这样最佳整定）。

�(�)=��(��+1)(1-10)W(s)=s(Ts+1)K​(1-10)

回顾前面图2，系统开环传递函数（不含PID控制器部分）由电机1-4和近似部分1-9组成如下：

�开环=����1.5���+1×1�+��=�����(1.5���+1)(���+1)(1-11)G开环​=1.5Ts​s+1Kpwm​​×R+Ls1​=R(1.5Ts​s+1)(RL​s+1)Kpwm​​(1-11)

将1-11对比式1-10，发现，要想实现典型I型环节，就得想办法去掉一个分母项（As+1），这时，PID控制部分作用就来了，引入式1-5到1-11中，得

�电流环=�����(1.5���+1)(���+1)(��+���) =�����(1.5���+1)(���+1)×��(�����+1)�​G电流环​=R(1.5Ts​s+1)(RL​s+1)Kpwm​​(KP​+sKI​​) =R(1.5Ts​s+1)(RL​s+1)Kpwm​​×sKI​(KI​KP​​s+1)​​(1-12)​

对照1-10，仅需要1-12中

(�����+1)=(���+1)(1-13)(KI​KP​​s+1)=(RL​s+1)(1-13)

即可实现目标

�电流环=��������(1.5���+1)(1-14)G电流环​=s(1.5Ts​s+1)RKpwm​KI​​​(1-14)

也就是要满足：

����=���������=�1.5��=�​KI​KP​​=RL​RKpwm​KI​​=K1.5Ts​=T​(1-15)​

之前我们说了，Kpwm取1，陈伯时老师书中所提的取用�ζ =0.707，即KT=0.5，代入1-15，即可得到KpKi参数

����=��,���1.5��=0.5⇒��=�3��,��=�3��​KI​KP​​=RL​,RKI​​1.5Ts​=0.5⇒KI​=3Ts​R​,KP​=3Ts​L​​(1-16)​

至此，电流环PI参数自整定推导完毕（中间很多简化忽略项等，本文是一种常见的思路，重在推导和思路学习）。

二、最佳整定补充证明

另外补充，对于典型I型系统开环传函即公式1-10，用�ζ=0.707、KT=0.5为什么稳定最佳。

如图3所示，这里闭环取单位负反馈（-1），那么图3中的闭环传函则是

�闭环=�开环1+�开环=��(��+1)1+��(��+1)=���2+1��+��(1-17)G闭环​=1+G开环​G开环​​=1+s(Ts+1)K​s(Ts+1)K​​=s2+T1​s+TK​TK​​(1-17)

回想上学时，学到经典控制理论中的频域分析，对于下面二阶系统

Φ(�)=��2�2+2����+��2(1-18)Φ(s)=s2+2ζωn​s+ωn​2ωn​2​(1-18)

将1-18对照1-17，可得到

��2=��2���=1�​ωn​2=TK​2ζωn​=T1​​(1-19)​

如图4，这里呢我手绘了一些，方便在根轨迹图中理解，阻尼比 �ζ 对应的输出大致轨迹我也画出来了。

可以看出，当0<�ζ<1（欠阻尼）的时候，如红色曲线，有超调、但很快收敛（经典曲线），根据书中p67表4-1，�ζ=0.707时，超调�σ=4.3%，比较均衡（书中有一大段文字分析解释，感兴趣可以去看看这本书，非常好）。所以有

2×0.707×��=1�⇒��=12×0.707⇒��=0.5(1-20)2×0.707×TK​​=T1​⇒KT​=2×0.7071​⇒KT=0.5(1-20)

证毕。

三、时域分析一阶惯性环节的特性

再另外补充，为什么说电机本身是一阶惯性环节，以及分析它的特性。

回顾公式1-4，忽略耦合项等，电机可以看作由电阻、电感组成的一阶惯性环节

�(�)=��(�)��(�)=1�+��=1����+1(1-21)G(s)=Vd​(s)Id​(s)​=R+Ls1​=RL​s+1R1​​(1-21)

对照典型一阶惯性环节形式

�(�)=���+1(1-22)W(s)=Ts+1K​(1-22)

可以得到，增益�=1�K=R1​，时间常数（也常用�σ表示）�=��T=RL​。

前面我们一直频域分析，现在换个角度，从时域分析看看输入输出特性如何（给一个阶跃激励，看响应）

对于输入，给定单位阶跃激励信号（幅值1），其时域形式和频域的传函如下：

�(�)={10�≥0�<0�(�)=1�​r(t)={10​t≥0t<0​r(s)=s1​​(1-23)​

那么阶跃响应（输出）为

�(�)=�(�)�(�)=1�(��+�)(1-24)C(s)=G(s)r(s)=s(Ls+R)1​(1-24)

在反拉氏变换将其转换成时域之前，先对1-24做一点变形处理，假设

1�(��+�)=��+��+���+�=��2+(��+�)�+���(��+�)(1-25)s(Ls+R)1​=sA​+Ls+RBs+C​=s(Ls+R)Bs2+(AL+C)s+AR​(1-25)

则有

{�=0��+�=0⇒��=1{�=1��=0�=−��(1-26)⎩⎨⎧​​B=0AL+C=0⇒AR=1​⎩⎨⎧​A=R1​B=0C=−RL​​(1-26)

那么式1-24可变换为如下：

1�(��+�)=1��−����+�=1�(1�−1�+��)(1-27)s(Ls+R)1​=sR1​​−Ls+RRL​​=R1​(s1​−s+LR​1​)(1-27)

参照反拉氏变换表，得到时域形式

�(�)=1�(1−�−���)(�≥0)(1-27)y(t)=R1​(1−e−LR​t)(t≥0)(1-27)

如图5，可以从时域中看出，一阶惯性环节的阶跃响应，天然没有超调，不存在突变。