[高中数学] 2026 好题四道

三角形不是等腰三角形，故不能取 2�，2�，2�，否则必等腰（或都在长轴所在直线上）。

剩余选项有 �2+�2,�+�>�>�−�。

• (1) �−�=3，�2+�2=5。则 2�2−�2=25，�=�+3，得 �2+12�−7=0，得 �=−12+1722=−6+43，�=−3+43，�+�≠14，�≠14，舍去。
• (2) �−�=3，�+�=5。�=4，�=1。�2+�2=31≠14，�≠14，舍去。
• (3) �=3，�+�=5。得 �=2，�2+�2=14，成立。
• (4) �=3，�2+�2=5，得 �=4，�=7，�+�=3+7≠14，舍去。

综上，�=3，�=2，三角形的组成是长轴顶点+短轴顶点+距离长轴顶点较远的焦点，�=23，

T2

将 (3,3,0) 绕直线 �=�=� 旋转，求该点经过的卦限数量（不含坐标平面）

解：该点的轨迹是在平面 �+�+�=6 上以 (2,2,2) 为圆心，6 为半径的圆。

假设该点旋转过程中经过除 (+,+,+) 外的其他卦限，由轮换对称性不妨设 �<0。

则 �+�=6−�>6，(�−2)2+(�−2)2=6−(�−2)2<2。

然而，(�−2)+(�−2)>2，应有 (�−2)2+(�−2)2≥12((�−2)+(�−2))2=2

得到 2<2，矛盾！

故不能经过其他卦限。

答案为 1。

T3

已知 Γ:�2−�2=1 (�(�−1)≥0)，�:�=��+2，�:�=��+2，� 与 Γ 交于第一、四象限，弦长为 �1；� 与 Γ 交于第三、四象限，弦长为 �2。求所有的 �，使得对任意 �，均存在唯一的 �，使得 �2=��1。

解：联立 �=��+2 和 �2−�2=1，得 (�2−1)�2+22��+1=0，Δ=4(�2+1)。�1=1+�2Δ|�2−1|=2(�2+1)|�2−1|。

同理，�2=2(�2+1)|�2−1|。

求 �,� 范围。读图，�∈[0,1)，�∈(1,22]。

定义辅助函数 �(�)=2(�2+1)|�2−1|=2|1+2�2−1|，命题转化为：

对任意 �∈[0,1)，都存在唯一的 �∈(1,2]，使得 �(�)=��(�)。

2(1+2�2−1)=2�(−1+21−�2)

1+2�2−1=�(−1+21−�2)

又因为 −1+21−�2 的值域是 [1,+∞)，1+2�2−1 在 [97,+∞) 上都有唯一对应的 �，故 �≥97

T4

对于定义域为 � 上的三个函数 �1(�)，�2(�)，�3(�)。

� 是 1,2,3 两个元素的排列的子集。定义 (�,�)∈� 当且仅当 ��(�)≤��(�) 对 �∈� 恒成立。

� 是 1,2,3 全排列的子集。定义 (�,�,�)∈� 当且仅当 �1(�)≤��(�) 对 �∈� 恒成立，且 �1(�)+�2(�)≤��(�)+��(�) 对 �∈� 恒成立。

记 ��=|�|。

已知 �1(�)∈(0,1) 对 �∈[0,+∞) 恒成立。�2(�)=12(�(�+�)+�(�−�))。�3(�)=1−�−�。�>0，�=[�,+∞)。求证：

(一) 若 �1(�) 是严格减函数，则存在 �>0，使得 ��≥4；

(二) 若 �1(�) 是严格增函数，则存在 0<�<1，使得 ��≠2。

证明：

先枚举 �� 的所有可能

• 必有 (1,2,3)∈�。
• (1,3,2)∈�，当且仅当 (2,3)∈�。
• (2,1,3)∈�，当且仅当 (1,2)∈�。
• (2,3,1)∈�，当且仅当 (1,2)∈�,(1,3)∈�。
• (3,1,2)∈�，当且仅当 (2,3)∈�,(1,3)∈�。
• (3,2,1)∈�，当且仅当 (1,3)∈�。

故 ��≥4，当且仅当 (1,3)∈�，且 {(1,2),(1,3)}∩�≠∅。

��=2，当且仅当 |{(1,2),(1,3),(2,3)}∩�|=1。

（一）证明 若 �1(�) 是严格减函数，则存在 �>0，使得 ��≥4

�2(�)=12(�1(0)+�1(2�))<�1(0)，�1(�)<�1(0)。取 �=−ln⁡(1−�1(0))，则 �3(�)=1−�−�=�1(0)，�≥� 时有 �3(�)≥�3(�)=�1(0)，既恒大于 �1(�)，又恒大于 �2(�)（因 �1(�)，�2(�) 均严格递减）。

故 (1,3)∈� 且 (2,3)∈�。

故 ��∈4,6，��≥4，命题得证。

（二）证明 若 �1(�) 是严格增函数，则存在 0<�<1，使得 ��≠2

假设 (1,2)∈�，则 �1(�)≤12(�1(�−�)+�1(�+�))，得 �1(�+�)≥2�1(�)−�1(�−�)。取 �=�1(2�)−�1(�)>0，则 �1(��)−�1((�−1)�)≥� 恒成立，可得 �1((�+1)�)≥�1(�)+��。只需取 �>1−�1(�)� 就可得 �1((�+1)�)>1，这与 �1(�)∈(0,1) 矛盾！

故假设不成立，(1,2)∉�。

由于 �(0)>0，取 �=min{−ln⁡(1−�1(0))2,12}，则 �3(2�)≤�1(0)<�1(�)<�1(2�)，可得 �1(2�)>�3(2�)⇒(1,3)∉�，且 �2(�)=12(�1(0)+�1(2�))>�3(2�)>�3(�)⇒(2,3)∉�。

故存在 �∈(0,1)，使得 ��=1≠2。