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[线性代数]正定矩阵

news 2026/7/4 0:38:41

题型：已知正定矩阵，求参数取值范围。

步骤1：写出$A + kE$的矩阵

已知

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

单位矩阵

$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$Hence，$

$A + kE = \begin{bmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & 2+k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{bmatrix}$

步骤2：正定矩阵的判定条件

实对称矩阵正定的充要条件是所有顺序主子式都大于$0$：

1. 一阶顺序主子式：

$$\Delta_1 = k > 0$$

2. 二阶顺序主子式：

$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} k & 1 \\ 1 & 2+k \end{vmatrix} = k(2+k) - 1 = k^2 + 2k - 1 > 0$$

解不等式$k^2 + 2k - 1 > 0$，得

$k < -1-\sqrt{2} \quad \text{或} \quad k > -1+\sqrt{2}$

结合$\Delta_1 > 0（k>0）$，此时只需满足$k > -1+\sqrt{2}$。

3. 三阶顺序主子式：

$$\Delta_3 = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & 2+k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$$

计算行列式：

\begin{equation}
\Delta_3= k\left[(2+k)k - 1\right] - 1\left[k -1\right] + 1\left[1 - (2+k)\right]
&= k(k^2+2k-1) - (k-1) + (-k-1)
&= k^3 + 2k^2 - k - k + 1 - k - 1
&= k^3 + 2k^2 - 3k
&= k(k^2+2k-3)
&= k(k+3)(k-1)
\end{equation}

\begin{align}
\Delta_3&= k\left[(2+k)k - 1\right] - 1\left[k -1\right] + 1\left[1 - (2+k)\right] \\
&= k(k^2+2k-1) - (k-1) + (-k-1) \\
&= k^3 + 2k^2 - k - k + 1 - k - 1 \\
&= k^3 + 2k^2 - 3k \\
&= k(k^2+2k-3) \\
&= k(k+3)(k-1)
\end{align}

要求$\Delta_3 > 0$，结合$k>0$，得$(k+3)(k-1) > 0$，即$k > 1$（$k < -3$舍去）。

步骤3：综合条件

\begin{cases}
\Delta_1 > 0：k>0\\
\Delta_2 > 0：k > -1+\sqrt{2} \approx 0.414\\
\Delta_3 > 0：k>1
\end{cases}

取交集得：$\boldsymbol{k > 1}$

另一种方法（特征值法）

因为$A + kE$的特征值$ = A$的特征值$ + k$，正定要求所有特征值$>0$，即$k > -\lambda_i（\lambda_i$为A的特征值$）$。

求A的特征值：

$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda-2 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-2)\lambda + 2 - (\lambda-2) - \lambda = \lambda(\lambda+1)(\lambda-3)$$

得A的特征值为

\begin{cases}
\lambda_1 = -1 \\
\lambda_2 = 0 \\
\lambda_3 = 3
\end{cases}

因此$A + kE$的特征值为$k-1，k，k+3，$要求都大于$0$：

\begin{cases}
k-1 > 0 \\
k > 0 \\
k+3 > 0
\end{cases}

解得$\boldsymbol{k > 1}$，和顺序主子式法结果一致.