当前位置：首页 > news >正文

复变函数：拉普拉斯逆变换、常见性质、解微分方程的一般通法

news 2026/7/4 20:35:34

一、拉普拉斯逆变换

（1）傅里叶变换中的F（w）辅助函数

（2）借助傅里叶逆变换还原成f(t)，得到拉普拉斯逆变换公式

二、拉普拉斯变换的常见性质

（1）线性性质

（2）时移性质

（3）频移性质

（4）时域微分性质：1阶微分

（5）时域微分性质：高阶

（6）时域缩放性质

（7）时域积分性质

（8）频域微分性质

三、利用拉普拉斯变换求解常微分方程

一、拉普拉斯逆变换

在学完拉普拉斯正变换后，已经可以把任意函数压缩成为绝对可积形式，从而使用傅里叶变换。但万一题目给我们的是拉普拉斯变换的结果G（w），如何反过来求解原信号函数f（t）呢？这就是拉普拉斯反演公式（也称为拉普拉斯逆变换）的由来。

即类似傅里叶逆变换，将频域转换为时域。在后续我们使用拉普拉斯变换化简微分方程时候就需要用到，所以先来推导一下。

（1）傅里叶变换中的F（w）辅助函数

也就是说：衰减后函数g(t)的傅里叶变换，等价于原函数f(t)的拉普拉斯变换。

（2）借助傅里叶逆变换还原成f(t)，得到拉普拉斯逆变换公式

其实在写到这里的时候，我产生了一个疑问：为什么傅里叶变换中明明只用了i这样的虚数单位即可，而你拉普拉斯却要用S=σ+iw这样的完整复数呢？
查阅资料后得知，傅里叶变换只能处理σ=0情况的纯虚频率，只能分析绝对可积的信号。即傅里叶从时域转换得到的频域是一个纯虚频域。而拉普拉斯既然是傅里叶的推广，必定会将频域升级成完整的复数域。其中实部σ用来帮助信号衰减到可用范围；虚部w则是傅里叶的功能，用来分析频谱组成。
其次，拉普拉斯正变换天然就是关于s的函数（只不过一般我们初学习惯写成S=σ+iw的形式），所以拉普拉斯逆变换也得是对偶形式，同样是关于s的函数。
最后，写成s的形式容易套用复变函数中曾学过的留数定理，从而用极点的留数和来等效替代这个积分结果，方便运算。

还有一点容易记混淆：
拉普拉斯正变换的上下限是（0，+∞）时间；而逆变换的上下限则是（σ-i∞，σ+i∞）频域。
这是因为正变换是对信号源做了变换，而信号本身就规定了从0时刻才产生有；而逆变换则是对频率w积分，天然不与现实中的时间挂钩。其中频域是由正、负两种频域组成的，他们与实数域的频率关系是由欧拉公式决定的，所以不要再认为负频域没有用处啦：

二、拉普拉斯变换的常见性质

拉普拉斯变换在推导各种性质的时候，其实和傅里叶一样，对原函数f（t）改写就只改写这一部分，而e^-st保持不动；对像函数改写就保持原函数不变。最终再利用变量代换得到性质即可。

（1）线性性质

（2）时移性质

时移中正负号保持不变。

（3）频移性质

频移中正负号要取反。

（4）时域微分性质：1阶微分

（5）时域微分性质：高阶

这个式子非常关键，一定要牢记，这就是解常微分方程的原理。

（6）时域缩放性质

（7）时域积分性质

既然时域微分性质是后续用拉普拉斯变换接微分方程的关键，那么它的对立面积分有么有什么用处呢？

由于时域微分性质是S*F（s）+f(0)有关的多项式，则由于积分和微分是对偶形式，所以时域积分性质是F（s）/s-y（0）相关多项式。
不过不同的是，由于此时关于y（0）的在一阶情况下只有一项，且值为0，所以在后续升级成高阶的时候，只需要把S改写成S^n即可，相较于时域微分性质少了后面多项式小尾巴。