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散列表(Hash Table)从理论到实用（上）

news 2026/7/5 2:30:12

在一个解决方案的复杂性之中，理论或者概念的部分通常只占有限的一小部分。理论无法做实际的工作——否则它也不成其为理论了。从理论到实用，需要经过一系列的发明。从实用到更加实用、更加通用，往往需要增加更多的复杂性。有时，这一过程远远超越科学的范畴，成为艺术家的乐园。有时，这一过程引入了过多不必要的复杂性，只是因为人类的自私、愚蠢和目光短浅。
科学不会也不能处理奇迹。科学只能处理重复的事件，艺术却不同。艺术是“就是如此”。在一个创作诞生以前，它是 Nothing——它没有来由、毫无征兆；诞生之后，它就是存在，是合理，是自然和美。我们所谈论的算法，作为一门实用的科学，既有科学的一面，也有艺术的一面。作为科学，它的结构可以分析，它的行为可以预测，它的属性可以量化，它的正确性可以证明。作为艺术，在一个算法诞生之后，有时我们只能说“它能工作”，仅此而已；对于它是如何来到这个世界上的，我们一无所知——这里没有“因为……所以……”，也不是简单的从一般到特殊。创造，似乎和生命一般神秘。我们可以给造物穿上漂亮的科学外衣，欣赏它内在的一致性，但是，最让人着迷的创造性的那一部分，却完全无法加以描述。
所以，当我们进行散列表的从理论到实用之旅时，如果你察觉到一些没有解释的跨越，请不要见怪吧。如果没有这些跨越，我们就完全可以设计一个程序发明这些算法，我们所要学习的算法也就完全会是另外一个样子了。

O(n) 查找和 O(1) 查找，两个模型

如果想知道在《伊利亚随笔选》这本书里是否有一个“囿”字，该怎么做呢？我们只有从第一页的第一行开始，一个字一个字地向后看去，直到找到这个字为止。如果直到最后一页的最后一个字都没有找到它，我们就知道这本书里根本没有这个字。所以，这项工作的复杂度是 O(n)。
再假设有这样一本《会计专用字帖》，它只有9页，每一页上有一个大写的数字：

当会计想要练习“柒”字时，只要她事先知道页码和内容的对应关系，就可以直接翻到第7页，实现 O(1) 复杂度的查找。通过这个模型我们知道，要想达成 O(1) 复杂度的查找，必须满足3个条件：
1. 存储单元（例如一页纸）中存储的内容（例如大写数字）与存储单元的地址（例如页码）必须是一一对应的。
2. 这种一一对应的关系（例如大写数字“柒”在第7页）必须是可以预先知道的。
3. 存储单元是可以随机读取的。这里“随机读取”的意思是可以以任意的顺序读取每个存储单元，并且每次读取所需时间都是相同的。与此相对的，读取磁带里的一首歌就不是随机的——想听第5首歌就不如听第一首歌来得那么方便。

在计算机上实现 O(1) 查找

先来看计算机的硬件设备。计算机的内存支持随机存取，从它的名字 RAM(random-access memory) 可以看得出对于这一点它还真有一点引以为傲呢。
既然硬件支持，我们就可以准备在计算机上模拟会计专业字帖了。第一项任务是向操作系统申请9个存储单元。这里有个小问题，我们得到的存储单元的地址很可能并不是从1到9，而是从134456开始的。好在我们并不需要直接跟操作系统打交道，高级语言会为我们搞定这些琐事。当我们使用高级语言创建一个数组时，相当于申请了一块连续的存储空间，数组的下标是每个存储单元（抽象）的地址。这样我们第一个 O(1) 复杂度的容器 SingleIntSet 很容易就可以完成了，它只能存储 0～9 这10个数字：

publicclassSingleIntSet

{

privateobject[] _values =newobject[10];

publicvoidAdd(intitem)

{

_values[item] = item;

}

publicvoidRemove(intitem)

{

_values[item] =null;

}

publicboolContains(intitem)

{

if(_values[item] ==null)

returnfalse;

else

return(int)_values[item] == item;

}

测试一下：

staticvoidMain(string[] args)

{

SingleIntSetset=newSingleIntSet();

set.Add(3);

set.Add(7);

Console.WriteLine(set.Contains(3));// 输出 true

Console.WriteLine(set.Contains(5));// 输出 false

}

新术语：使用高级语言创建了一个整型数组时（例如 int[] values = new int[10]），我们不再把 values[7] 称为“一个存储单元”，因为存储单元的大小是一个字节，在32位操作系统上，values[7] 的大小是4字节，所以我们要使用一个新术语，把 values[7] 称为 values 数组的一个槽(slot)。

SingleIntSet2（说实话我真不喜欢这个名字，谁会喜欢？！）

新需求！同样只需要保存10个数字，只不过这次不是保存0～9，而是需要保存10～19，怎么办？很简单，实现一个槽里的值与地址的映射函数 H() 即可：