旋转向量，旋转矩阵，四元数，欧拉角之间的转换公式

目录

符号约定

一、旋转向量 <——>旋转矩阵（指数 / 对数映射，罗德里格斯）

1. 旋转向量 → 旋转矩阵

2. 旋转矩阵 → 旋转向量

二、旋转向量 <——> 四元数

1. 旋转向量 → 单位四元数

2. 四元数 → 旋转向量

三、旋转矩阵 <——> 四元数

1. 四元数 → 旋转矩阵

2. 旋转矩阵 → 四元数

四、旋转矩阵 <——> 欧拉角（ZYX 顺序，飞行器常用）

1. 欧拉角 → 旋转矩阵

2. 旋转矩阵 → ZYX 欧拉角

五、四元数 <——> 欧拉角

1. 四元数 → ZYX 欧拉角

2. ZYX 欧拉角 → 四元数

转换总流程图（方便记忆）

工程选型提醒（贴合飞控 / SLAM

符号约定

Ⅰ 欧拉角：

Ⅱ 旋转向量：

Ⅲ 旋转矩阵：

Ⅳ 单位四元数：

一、旋转向量 <——>旋转矩阵（指数 / 对数映射，罗德里格斯）

1. 旋转向量 → 旋转矩阵

a∧是向量反对称映射：

2. 旋转矩阵 → 旋转向量

小角度近似：θ≈0 时直接取反对称矩阵缩放。

二、旋转向量 <——> 四元数

1. 旋转向量 → 单位四元数

2. 四元数 → 旋转向量

三、旋转矩阵 <——> 四元数

1. 四元数 → 旋转矩阵

2. 旋转矩阵 → 四元数

若t过小，换对角元最大分量计算避免除零。

四、旋转矩阵 <——> 欧拉角（ZYX 顺序，飞行器常用）

1. 欧拉角 → 旋转矩阵

Ⅰ 单轴基础旋转矩阵

Ⅱ ZYX 组合总公式（先滚转→再俯仰→最后偏航，矩阵右乘）

Ⅲ 完整展开 3×3 总矩阵

2. 旋转矩阵 → ZYX 欧拉角

五、四元数 <——> 欧拉角

1. 四元数 → ZYX 欧拉角

2. ZYX 欧拉角 → 四元数

转换总流程图（方便记忆）

工程选型提醒

1. 旋转向量：优化求导、李群扰动模型专用；
2. 旋转矩阵：坐标变换、矩阵运算直观，9 个参数冗余；
3. 四元数：无万向锁、仅 4 参数，IMU 姿态解算首选；
4. 欧拉角：仅人机交互读取，算法内部尽量不用，存在万向锁奇点。