题目
已知椭圆 \(C: \frac{x^2}{4}+y^2=1\), 点 \(D\) 为 \(x\) 轴上一点，过 \(D\) 作 \(x\) 轴的垂线交椭圆 \(C\) 于不同的两点 \(M,N\), 过 \(D\) 作 \(AM\) 的垂线交 \(BN\) 于点 \(E\). 求证：\(\frac{BE}{BN}=\frac{1}{5}\)
（如图）
探索：能不能更简单？
首先这题可以直接硬算，其实也很好算，求出点 \(E\) 的 \(x\) 坐标就行，但这就没意思了
我觉得这题肯定有某种简单些的规律，而且观察到这个 \(4\) 应该是 \(\frac{a^2}{b^2}\)，不能如此巧合吧
我尝试了一些探索：比如注意到这个垂直里面有很好的角度关系，设出 \(\angle MAD, \angle NBD\)，用它们的三角函数表示出比例，只需要一点解三角形，再加上一点点代数，就可以做了
这的确比直接硬算容易点了，但这就是简单规律了吗？
进一步观察，得到结论
刚才的做法是在 \(\Delta DEN\) 中应用正弦定理表示出 \(EN\)，并发现它和 \(BN\) 存在一个比例
这个比例是：\(\frac{DM\cdot DM}{AD\cdot BD+DM\cdot DM}\)，这里把 \(x+4y^2=4\) 代入进去算出来定值 \(\frac{1}{5}\)
发现，它是定值，其实是：\(\frac{AD\cdot BD}{DM\cdot DM}\) 为定值
看起来很像一回事了，而且，拿脑子简单想一下，就会发现：它对任意椭圆都正确，而且证明非常简单！
因此我们得到一个看起来很 “二级结论” 的东西：
- 在椭圆里面画一个这样的 “十字”，横边乘积和竖边乘积的比值为定值，等于 \(\frac{a^2}{b^2}\)
- 特殊地，如果在圆中，则比例为 \(1\)
结论推广
刚才说的 “十字”，是在 \(x\) 轴上任意取一个点，作关于 x 轴垂线，那么它到两个交点的距离乘积，和它到左右两个顶点的距离乘积，比例为定值
想一想，发现，换成在 \(y\) 轴上取，横竖乘积比依然是同样的定值
不禁猜测：是不是任意在里面取点，横竖乘积比都是一样的定值？
拿 geogebra 画一下，发现真的是对的。同样，用椭圆的方程，代数算一下，需要多算一点，但也是对的。
用这个结论，把这题 “秒了”
直接设 \(AD,BD,DM\) 为 \(a,b,c\)，则 \(ab=4c^2\)
\(\vec{DE}=(\frac{1}{5}b, -\frac{4}{5}c)\)，\(\vec{AM}=(a,c)\)，点乘为 \(\frac{1}{5}ab-\frac{4}{5}c^2\)，当然为 \(0\)，证毕
总结
总的来说，一方面是要观察，观察有用的代数结构
还有一个，跟写代码的道理很像，就是“复用”：找出代码里有用的 “小模块”，将其提取出来，封装成一个方法，下次再用到的时候直接调用
找这个 “有用的子结论的结构” 的过程，跟 “找代码里有用的小模块” 的过程很像，如果你懂得代码复用的道理，就会明白我在干什么