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给定目标串 \(t\)(长度 \(m\))和 \(n\) 个字符串 \(a_0,a_1,\dots,a_{n-1}\)(每个长度 \(m\))。有两种操作:

  • 操作 1:在同一字符串内交换两个位置,即交换 \(a_x[i]\)\(a_x[j]\)
  • 操作 2:在同一列跨两个字符串交换,即交换 \(a_x[i]\)\(a_y[i]\)

一个简单稳的构造是把 \(a_0\) 当作“工作区”,逐位把它修成 \(t\)。我们按 \(i=0,1,\dots,m-1\) 处理,并维护不变量:

处理完位置 \(i\) 后,\(a_0[0..i]=t[0..i]\),并且之后不再改动这个前缀。

对每个 \(i\)

如果 \(a_0[i]=t[i]\),跳过。

否则先只用操作 1 在 \(a_0\) 内修:在 \(j\ge i\) 中找 \(a_0[j]=t[i]\),若找到了就交换 \(a_0[i]\)\(a_0[j]\),第 \(i\) 位立刻修好。

如果 \(a_0\) 在区间 \([i,m-1]\) 找不到 \(t[i]\),就从别的字符串取。我们在某个 \(a_x\)\(x\in{1,\dots,n-1}\))里找一个列 \(y\in{0,\dots,m-1}\) 使 \(a_x[y]=t[i]\)。找到后,如果 \(y\ne i\),先在 \(a_x\) 内用操作 1 把这个字符换到列 \(i\);然后用操作 2 在列 \(i\) 把它交换到 \(a_0[i]\),于是 \(a_0[i]=t[i]\)

因为我们始终只动 \(a_0\) 的列 \(\ge i\),已经固定的前缀 \(a_0[0..i-1]\) 永远不会被破坏,构造就会单调推进。

关键 WA 点(我踩过的坑)
在其他字符串里找 \(t[i]\) 时必须搜全范围 \(y\in[0,m-1]\),不能只搜 \(y\in[i,m-1]\)。因为只有 \(a_0\) 的前缀被锁定,其他字符串左半边仍然是合法资源池,完全可以动;如果限制范围会“错过资源”,从而 WA。

复杂度:最坏情况下每个 \(i\) 扫描 \(a_0[i..m-1]\),再扫描其它字符串找字符,保守估计时间为 \(O(m^2+nm^2)\);空间为存字符串的 \(O(nm)\) 加上记录操作的 \(O(\text{ops})\)


本题解思路为本人赛时解法,文字部分由 AI 协助整理润色。

http://www.jsqmd.com/news/412121/

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