一文读懂：通俗易懂的KMP算法详解

我们先提出一个问题：

给你两个字符串 s 和 p（p 的长度不超过 s 的长度，且 s 和 p 都不是空的），问 s 中是否包含 p？

例如：

• s=“hello, java”, p = “java”，那么 s 包含 p
• s=“github”, p=“ppt”, s 不包含 p

能否写出一个程序高效地解决这个问题。

我们能容易想到这样的方法：

设置两个指针，i 和 j，都初始化为 0，我们对比 s 在 i 位置，p 在 j 位置的字符。如果 s[i] == p[j]，那么 i 和 j 都移到下一个位置。否则 j 回退到 0，i 回退到 1，继续上述过程，如果在下一次比较中，还是出现了不匹配的字符，那么 j 回退到 0，i 回退到 2，继续……，周而复始。直到某一次匹配中，如果 j 到达越界位置，那么 s 包含 p，否则 s 不包含 p。

代码如下：

public class StrContains { public static boolean contains(String s, String p) { int ls = s.length(), lp = p.length(), i = 0, j = 0; while(i <= ls - lp) { int x = i; j = 0; while(j < lp && s.charAt(x) == p.charAt(j)) { ++x; ++j; } if(j == lp) return true; ++i; } return false; } }

这样的查找方法，在遇到 s = “aaaaaaaaaaaaab”，p = “aab” 这样的情况的时候，会使得 p 只有在最后一次匹配的时候，才可以得到匹配。假设 s 的长度是 N，p 的长度是 M，那么显然的最坏情况下时间复杂度就是 O(N∗M)。而 KMP 算法能做到最坏情况下 O(N+M) 的时间复杂度。它是怎么做的呢？我们一起来看看吧。

KMP 算法的计算过程启发的过程：上面的暴力方法是基于这样的一个尝试的思路，如果 s 中有一个子串和 p 是匹配的，因为任何一个子串都有一个开头位置，那么这个和 p 匹配的子串当然也有一个开头位置，又因为我们不知道哪个开头位置的子串和 p 是匹配的，因此我们尝试所有可能的开头。如果我们尝试完所有的开头位置，都没有发现一个子串可以和 p 匹配，那么 s 中就没有一个子串和匹配，即 s 不包含 p，反之 s 包含 p。那么这个过程它为什么低效呢？我们来看一下 s = “aaaaaaaaab” 和 p = “aaab” 的匹配过程。

当我们发现某一个开头的尝试已经宣告失败的时候，此时只能选择下一个开头，继续从头开始匹配。那么此时指向 s 的指针会回退，之前已经匹配的部分结果完全抛弃，从新开始，因此这个方法是低效的。如果某一次尝试失败了，那么之前已经匹配的部分（之前做过的努力）能否给我们提供一些帮助，加速我们的匹配过程，甚至能使得字符串 s 上的指针不回退呢？我们调整的时候，需要遵循什么原则呢？

为了便于说明 j 的调整，下面我们举一个明显的例子。请看字符串 s = “acacab”，和字符串 p = “acab” 的匹配过程。

那么如果已经匹配的部分有多个前缀和后缀是匹配的呢？我们怎么选择？请看 s = “aaaab” 和 p = “aaab” 的匹配过程。

总结一下：此时我们似乎找到了，保证 s 指针不回退的时候，p 的指针的调整方案，即当我们发现某一次匹配失败的时候，我们需要找出前面已经匹配部分的 前后缀最大匹配长度，假设为 next，那么我们只需要把 j 调整为 next，继续进行匹配操作即可。next 数组

我们在进行真正的匹配之前，我们要先计算好，每一个元素的 next 值（next 值的含义就是当前元素失去匹配的时候，它前面部分字符串的前后缀最大匹配长度，这个前后缀不包含自己），看下面对字符串 “caccacb” 的 next 值的定义过程：