【高代01-01数域】

多项式由未知数x，y，z等的整数幂次以及系数组成.多项式的系数来自数域.

数的发展历程:

1. 需要加减法，自然数扩充为整数.
2. 需要乘除法，整数扩充为有理数.
3. 需要乘方开方，有理数扩充为实数再扩充为复数.

还有待解决的问题，如I n ( − 1 ) , i i , s i n ( 2 + 3 i ) In(-1),i^i,sin(2+3i)In(−1),ii,sin(2+3i)这些数是多少?请见复变函数.

关于数的加减乘除等运算的性质统称为数的代数性质.

定义1
设P PP是复数集合C \mathbb CC的子集，满足

• 0和1都在P PP中
• P PP中任取两个数(可重复)的和差积商都还在P PP中

那么P PP就称为一个数域.

如果P PP中任意两个数做某一运算的结果还在P PP中，则称P PP对这个运算是封闭的.所以上面第二条可以改成P PP关于加减乘除运算是封闭的.这种表述更简洁.

回忆一下数的发展历程，整数对于加减乘法封闭，对于除法不封闭，因此扩充成了有理数.

思考题:所有的数域都包含有理数域吗?
思考问题的方法就是要利用数域的性质，就是数域中至少包含零和一，另外对于加减乘除运算是封闭的。满足这两点，那你看是不是所有的数域只要含零和一的话就一定要包含所有的有理数。

例1
Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ a , b ∈ Q } \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}Q(2​)={a+b2​∣a,b∈Q}构成一个数域.

加法封闭：
a + b 2 + c + d 2 = ( a + c ) + ( b + d ) 2 . a + b\sqrt{2} + c + d\sqrt{2} = (a + c) + (b + d)\sqrt{2}.a+b2​+c+d2​=(a+c)+(b+d)2​.

减法封闭：
a + b 2 − c − d 2 = ( a − c ) + ( b − d ) 2 . a + b\sqrt{2} - c - d\sqrt{2} = (a - c) + (b - d)\sqrt{2}.a+b2​−c−d2​=(a−c)+(b−d)2​.

乘法封闭：
( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( a c + 2 b d ) + ( a d + b c ) 2 . (a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2}.(a+b2​)(c+d2​)=(ac+2bd)+(ad+bc)2​.

除法封闭：
a + b 2 c + d 2 = ( a + b 2 ) ( c − d 2 ) c 2 − 2 d 2 = a c − 2 b d c 2 − 2 d 2 + ( b c − a d ) 2 c 2 − 2 d 2 . \frac{a + b\sqrt{2}}{c + d\sqrt{2}} = \frac{(a + b\sqrt{2})(c - d\sqrt{2})}{c^2 - 2d^2} = \frac{ac - 2bd}{c^2 - 2d^2} + \frac{(bc - ad)\sqrt{2}}{c^2 - 2d^2}.c+d2​a+b2​​=c2−2d2(a+b2​)(c−d2​)​=c2−2d2ac−2bd​+c2−2d2(bc−ad)2​​.
因为c,d都是有理数，所以c 2 − 2 d 2 c^2 - 2d^2c2−2d2不等于0.若等于0，那么一个数是另一个数的2 \sqrt{2}2​倍，与c,d都是有理数冲突.

例 2
{ a 0 + a 1 π + ⋯ + a n π n b 0 + b 1 π + ⋯ + b m π m ∣ n , m ∈ N , a i , b j ∈ Z , i ∈ { 0 , … , n } , j ∈ { 0 , … , m } } \left\{ \frac{a_0 + a_1 \pi + \dots + a_n \pi^n}{b_0 + b_1 \pi + \dots + b_m \pi^m} \,\bigg|\, n,m \in \mathbb{N},\ a_i,b_j \in \mathbb{Z},\ i \in \{0,\dots,n\},\ j \in \{0,\dots,m\} \right\}{b0​+b1​π+⋯+bm​πma0​+a1​π+⋯+an​πn​​n,m∈N,ai​,bj​∈Z,i∈{0,…,n},j∈{0,…,m}}
构成一个数域。

验证过程类似整数域上分式f ( x ) g ( x ) \dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​的加减乘除运算。见第二节

例 3
全体奇数和全体2 \sqrt{2}2​的整倍数不构成一个数域。

前者没有0对加减除法不封闭，后者没有1对乘除法不封闭。

现在回答思考题: 所有的数域都包含有理数域.

• 0 00和1 11在P PP中, 加法封闭性可知1 + 1 = 2 , 2 + 1 = 3 , … 1 + 1 = 2,\ 2 + 1 = 3,\ \dots1+1=2,2+1=3,…, 都在P PP中.
  所以全体自然数都在P PP中.

• 减法封闭性可知对任意自然数n nn,0 − n = − n 0 - n = -n0−n=−n也在P PP中. 所以全体整数都在P PP中.

• 任一有理数可写成两个整数的商, 除法封闭性即知全体有理数都在P PP中.