2014年伊朗国家队选拔赛第8题

点DDD是三角形△ABC\triangle ABC△ABC边BCBCBC上的一点.III,I1I_1I1​和I2I_2I2​分别为三角形△ABC\triangle ABC△ABC,△ABD\triangle ABD△ABD和△ACD\triangle ACD△ACD的内心.MMM和NNN分别为三角形△ABC\triangle ABC△ABC的外接圆与三角形△IAI1\triangle IAI_1△IAI1​和△IAI2\triangle IAI_2△IAI2​的外接圆的交点 (且M≠AM\neq AM=A,N≠AN\neq AN=A). 证明: 无论点DDD如何, 直线MNMNMN均经过固定点. (2014年伊朗国家队选拔赛第8题)

证明:

先证明∠AMI+∠ANI=π2\angle AMI+\angle ANI=\frac{\pi}{2}∠AMI+∠ANI=2π​. (略)

设AIAIAI交(ABC)(ABC)(ABC)于点YYY,XXX是YYY的对径点,A′A'A′是AAA的对径点. 延长XIXIXI交(ABC)(ABC)(ABC)于点SSS, 延长A′IA'IA′I交(ABC)(ABC)(ABC)于点LLL. 设ASASAS交LYLYLY于点KKK. 分别延长MIMIMI,NININI交(ABC)(ABC)(ABC)于点M′M'M′,N′N'N′.

下面证明MNMNMN恒过定点KKK.

则∠M′YN′=∠M′YI+∠N′YI=∠AMI+∠ANI=π2\angle M'YN' = \angle M'YI+\angle N'YI = \angle AMI+\angle ANI = \frac{\pi}{2}∠M′YN′=∠M′YI+∠N′YI=∠AMI+∠ANI=2π​.M′N′M'N'M′N′为(ABC)(ABC)(ABC)的直径.

由于M′N′M'N'M′N′,XYXYXY,AA′AA'AA′共点于OOO, 由迪沙格定理,MNMNMN,ASASAS,LYLYLY共点. 显然所共的点是KKK. 证毕.