一些仙人掌，尤其是那些星形的。它们周围螺旋状的小凸起和脊状突起并非随意排列，它们通常遵循黄金角，大约137.5°，这种螺旋规律也出现在向日葵的种子荚、松果和菠萝鳞片上。每个新的生长点都比前一个生长点旋转一个精确的角度。
神奇的是，这个角度也并非随意设定。从某种意义上说，它是最无理数，最难用简单的分数来近似表示。如果植物的生长点采用90°角，那么它们最终会排列成列，彼此之间会有空隙。黄金角特指的就是这种永远不会重复的旋转角度，因此植物的生长点永远不会排列整齐，从而在给定的空间内以最小的重叠度容纳最多的叶子或种子。
仙人掌上的螺旋纹路并非装饰。这是一种由进化发现的打包算法，可以用一个缓慢旋转的无理数来表示。
而菠萝尤其容易看出这一点，因为可以直接数出来。观察菠萝的表面，可以找到三组方向不同的螺旋线。通常一个方向是 8，另一个方向是 13，第三个方向是 21。这些数字并非随机：8、13 和 21 是连续的斐波那契数，而斐波那契比率正是用分数不断逼近黄金角所得到的。
同样的规律在一种水果上以两种方式同时展现：相邻鳞片之间的旋转角度，以及可以用手指数出来的螺旋线数量。两者都是同一个无理数，只是从两个不同的角度观察而已。
π 和 e 的出现是因为它们本身就是无理数。π 存在于任何具有旋转或圆形对称性的事物中（例如轨道、波、涟漪），e 存在于任何持续增长或衰减且与其自身大小成比例的事物中（例如人口、放射性衰变、电容器充电）。它们并非“被选择”出来的，而是自然而然地从几何学或微分方程中“流露出来”。没有 π，圆就不可能存在。
黄金角则不同，它并非由几何学强制产生，而是被“选择”出来的。原则上，植物可以利用相邻叶片之间的任何旋转角度。大多数角度最终都会导致叶片排列整齐。一列叶片彼此堆叠，浪费下方的光照或空间。只有那些难以用有理数近似的角度才能避免这种情况，而黄金角在这方面表现最佳。所以，进化并非发现一个始终存在的常数；而是在无数种可能的角度中，最终收敛于解决堆积问题的唯一角度。
因此，无理数在自然界中既以必然性（π、e——一旦有了圆或增长，就无法避免它们）的形式出现，也以最优解（黄金角——在无限多种选择中的最佳答案，而无理数正是它成为最佳答案的原因）的形式出现。机制不同，表现形式相同。