局部误差如何变成系统误差？——系统级物理光学中的误差传播、敏感度与可信度预算

上一篇文章中，我们把智能数字模型定义为一种能够携带物理能力、误差结构、可信域和决策信息的数字物理对象。

它不仅输出电磁场：

[
\boldsymbol{\Psi}_{i},
]

还应该同时给出：

[
\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{i},
\qquad
\Omega_i,
\qquad
c_i,
]

分别表示模型的误差估计、适用域和当前可信度。

但当这些模型被连接成一个完整系统后，一个更加困难的问题随之出现：

每一个元件都可能存在误差，这些局部误差最终如何变成系统误差？

最直观的想法是把所有局部误差直接相加。

例如，如果光源模型误差为 (0.1%)，光栅模型误差为 (0.2%)，物镜模型误差为 (0.1%)，那么系统误差是否就是：

[
0.1%+0.2%+0.1%=0.4%？
]

通常不是。

在真实光学系统中，局部误差可能被后续传播放大，也可能被空间滤波抑制；可能通过干涉相消，也可能在共振结构中反复累积；还可能从相位误差转化为强度误差，从偏振误差转化为探测信号误差。

因此，系统误差不是局部误差的简单总和。

它是局部误差经过整个系统动力学作用后，对最终目标产生的综合影响。

这意味着，系统级物理光学不仅需要传播电磁场，还需要传播：

误差的影响。

一、光场沿正向传播，误差影响沿系统传播

考虑一个由 (N) 个元件构成的光学系统。

设系统入口的电磁场为：

[
\boldsymbol{\Psi}_0.
]

第 (i) 个数字模型表示为：

[
\boldsymbol{\Psi}_i

\mathcal M_i
\left(
\boldsymbol{\Psi}_{i-1};
\boldsymbol{\theta}_i
\right),
]

其中：

• (\mathcal M_i) 是第 (i) 个元件的物理模型；

• (\boldsymbol{\theta}_i) 是该元件的几何、材料、环境及模型参数。

整个系统可以写成复合映射：

[
\boldsymbol{\Psi}_N

\mathcal S
\left(
\boldsymbol{\Psi}_0;
\boldsymbol{\theta}
\right)

\mathcal M_N
\circ
\mathcal M_{N-1}
\circ
\cdots
\circ
\mathcal M_1
\left(
\boldsymbol{\Psi}_0
\right),
]

其中：

[
\boldsymbol{\theta}

\left(
\boldsymbol{\theta}_1,
\boldsymbol{\theta}_2,
\ldots,
\boldsymbol{\theta}_N
\right).
]

如果系统最终关心的是某个性能指标，例如耦合效率、成像对比度、消光比或共振波长，则可以定义：

[
J

\mathcal Q
\left(
\boldsymbol{\Psi}_N
\right),
]

其中 (\mathcal Q) 表示从最终电磁场提取系统目标的观测算子。

于是，整个仿真的逻辑是：

[
\boldsymbol{\Psi}_0
\xrightarrow{\mathcal M_1}
\boldsymbol{\Psi}_1
\xrightarrow{\mathcal M_2}
\cdots
\xrightarrow{\mathcal M_N}
\boldsymbol{\Psi}_N
\xrightarrow{\mathcal Q}
J.
]

这条链描述了电磁场如何沿系统正向传播。

但系统误差分析还需要回答另一条链：

[
\delta\boldsymbol{\Psi}i
\longrightarrow
\delta\boldsymbol{\Psi}{i+1}
\longrightarrow
\cdots
\longrightarrow
\delta J.
]

也就是说，某个元件产生的微小扰动，会经过后续所有元件的作用，最终影响系统目标。

这就是误差传播。

二、局部误差为什么不能用一个百分比表示？

设第 (i) 个模型输出的近似场为：

[
\widetilde{\boldsymbol{\Psi}}_i,
]

理想参考场为：

[
\boldsymbol{\Psi}_i^\ast.
]

局部场误差可以定义为：

[
\delta\boldsymbol{\Psi}_i

\widetilde{\boldsymbol{\Psi}}_i

\boldsymbol{\Psi}_i^\ast.
]

很多时候，人们进一步将它压缩为一个相对误差：

[
\varepsilon_i

\frac{
\left|
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right|
}{
\left|
\boldsymbol{\Psi}_i^\ast
\right|
}.
]

这种表达可以衡量局部结果与参考结果之间的总体差异，却丢失了大量对系统至关重要的信息。

因为具有相同范数的两个误差场：

[
\left|
\delta\boldsymbol{\Psi}_i^{(a)}
\right|

\left|
\delta\boldsymbol{\Psi}_i^{(b)}
\right|,
]

可能具有完全不同的：

• 空间位置；

• 相位分布；

• 偏振方向；

• 频谱成分；

• 模态组成；

• 相干关系。

它们对最终目标的影响也可能完全不同。

例如，在一个单模光纤耦合系统中，若误差场主要位于目标模态的正交子空间，则它的整体能量即使较大，也未必显著改变耦合效率。

设目标模态为：

[
\boldsymbol{\phi}_0,
]

耦合幅度为：

[
a

\left\langle
\boldsymbol{\phi}_0,
\boldsymbol{\Psi}
\right\rangle.
]

如果：

[
\left\langle
\boldsymbol{\phi}_0,
\delta\boldsymbol{\Psi}
\right\rangle

0,
]

那么该误差对目标模态耦合的一阶影响可以为零，即使：

[
\left|
\delta\boldsymbol{\Psi}
\right|
]

并不小。

相反，一项能量很小但与目标模态高度重叠的误差，却可能显著改变耦合结果。

因此：

系统并不关心误差有多“大”，而关心误差沿什么方向发生。

这里的“方向”不是单纯的几何方向，而是电磁场状态空间中的方向。

三、系统误差本质上是一个加权后的局部误差

对于足够小的扰动，可以在参考状态附近对第 (i) 个模型进行线性化：

[
\delta\boldsymbol{\Psi}i
\approx
\mathbf A_i
\delta\boldsymbol{\Psi}{i-1}
+
\mathbf B_i
\delta\boldsymbol{\theta}_i
+
\mathbf r_i.
]

其中：

[
\mathbf A_i

\frac{\partial\mathcal M_i}
{\partial\boldsymbol{\Psi}_{i-1}}
]

表示模型输出对输入场的局部敏感度；

[
\mathbf B_i

\frac{\partial\mathcal M_i}
{\partial\boldsymbol{\theta}_i}
]

表示模型输出对元件参数的敏感度；

[
\mathbf r_i
]

表示不能由输入和参数扰动完全解释的模型残差，例如：

• 离散误差；

• 模型形式误差；

• 接口投影误差；

• 迭代误差；

• 被忽略的物理机制。

于是，第 (i) 个位置产生的误差，传播到系统输出时可以写成：

[
\delta\boldsymbol{\Psi}N^{(i)}
\approx
\mathbf A_N
\mathbf A{N-1}
\cdots
\mathbf A_{i+1}
\delta\boldsymbol{\Psi}_i.
]

定义从位置 (i) 到系统出口的传播算子：

[
\mathbf P_{N\leftarrow i}

\mathbf A_N
\mathbf A_{N-1}
\cdots
\mathbf A_{i+1},
]

则有：

[
\delta\boldsymbol{\Psi}N^{(i)}
\approx
\mathbf P{N\leftarrow i}
\delta\boldsymbol{\Psi}_i.
]

系统目标的一阶扰动为：

[
\delta J
\approx
\left\langle
\mathbf g_N,
\delta\boldsymbol{\Psi}_N
\right\rangle,
]

其中：

[
\mathbf g_N

\frac{\partial J}
{\partial\boldsymbol{\Psi}_N}
]

表示最终目标对出口场的敏感度。

代入局部误差传播关系：

[
\delta J_i
\approx
\left\langle
\mathbf g_N,
\mathbf P_{N\leftarrow i}
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right\rangle.
]

利用伴随算子的定义，可以改写为：

[
\delta J_i
\approx
\left\langle
\mathbf P_{N\leftarrow i}^{\dagger}
\mathbf g_N,
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right\rangle.
]

定义位置 (i) 的目标敏感度场：

[
\mathbf z_i

\mathbf P_{N\leftarrow i}^{\dagger}
\mathbf g_N,
]

便得到：

[
\boxed{
\delta J_i
\approx
\left\langle
\mathbf z_i,
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right\rangle
}
]

这条公式揭示了系统误差传播最核心的结构：

[
\text{目标误差}

\text{局部误差}
\times
\text{系统敏感度}.
]

严格来说，它是局部误差与目标敏感度之间的内积，而不是普通数值乘法。

这也正是目标导向误差估计和双重加权残差思想的核心：局部残差并非同等重要，应当由相应对偶或伴随解进行加权，以判断其对目标泛函的实际贡献。相关研究已经建立了针对单一及多个目标泛函的双侧后验误差估计，并将离散误差和非线性迭代误差纳入统一分析。

四、伴随场可以理解为“目标从后向前看系统”

正向计算回答：

一个输入光场经过整个系统后会变成什么？

伴随计算回答：

最终目标对系统中每一个位置的场有多敏感？

正向场沿着系统传播：

[
\boldsymbol{\Psi}_0
\rightarrow
\boldsymbol{\Psi}_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
\boldsymbol{\Psi}_N.
]

伴随变量则按照相反顺序传播：

[
\mathbf z_N
\rightarrow
\mathbf z_{N-1}
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
\mathbf z_0,
]

并满足近似递推关系：

[
\mathbf z_{i-1}

\mathbf A_i^\dagger
\mathbf z_i.
]

其中：

[
\mathbf z_N

\frac{\partial J}
{\partial\boldsymbol{\Psi}_N}.
]

因此，(\mathbf z_i) 可以被直观地理解为：

如果位置 (i) 的电磁场发生某种变化，最终系统目标会有多大反应？

在光子器件和光传播问题中，伴随方法的一项重要优势是：通常只需一次额外的伴随求解，便可以计算目标函数对大量设计参数的敏感度，而不需要逐个参数进行有限差分扫描。

但在系统级物理光学中，伴随场的意义不应仅限于优化设计。

它还可以被用于：

• 识别系统中真正敏感的元件；

• 衡量局部模型误差的重要性；

• 分配误差预算；

• 决定哪些元件需要提高保真度；

• 判断哪些接口需要更细采样；

• 定位系统可信度的主要薄弱环节。

因此，伴随方法不仅是一种求导技术。

它还可以成为系统理解自身误差结构的一种方法。

五、局部误差可能被放大，也可能被抑制

从：

[
\delta\boldsymbol{\Psi}N^{(i)}
\approx
\mathbf P{N\leftarrow i}
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
]

可以看到，局部误差的最终影响取决于后续系统传播算子：

[
\mathbf P_{N\leftarrow i}.
]

如果某种误差方向对应较大的传播增益，则：

[
\left|
\mathbf P_{N\leftarrow i}
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right|
\gg
\left|
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right|,
]

局部误差会被放大。

如果误差被空间滤波、孔径截断或模态正交性抑制，则可能有：

[
\left|
\mathbf P_{N\leftarrow i}
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right|
\ll
\left|
\delta\boldsymbol{\Psi}_i
\right|.
]

在不同系统中，放大机制可能完全不同。

1. 干涉放大

考虑两束复振幅分别为：

[
E_1=A_1e^{i\phi_1},
\qquad
E_2=A_2e^{i\phi_2}.
]

总强度为：

[
I

\left|
E_1+E_2
\right|^2

A_1^2+A_2^2
+
2A_1A_2\cos\Delta\phi,
]

其中：

[
\Delta\phi=\phi_1-\phi_2.
]

相位误差 (\delta\phi) 引起的强度变化近似为：

[
\delta I
\approx
-2A_1A_2
\sin\Delta\phi,
\delta\phi.
]

当：

[
\left|
\sin\Delta\phi
\right|
]

较大时，极小的相位误差也可能转化为显著的强度误差。

因此，在干涉系统中，不能仅以局部功率误差评价模型。

模型可能几乎完全保持能量，却因相位偏差而导致错误的系统输出。

2. 共振放大

在高品质因数共振结构中，微小几何或折射率变化可能引起明显的共振频率漂移。

若系统输出位于共振曲线陡峭区域，则：

[
\delta J
\approx
\frac{\partial J}
{\partial\omega_0}
\delta\omega_0
]

可能非常大。

这意味着某个局部模型即使对场分布只有很小影响，只要改变了共振条件，就可能显著改变系统目标。

3. 偏振转换

某个元件产生的微小偏振串扰，可能在后续分析器中被转换为明显的强度变化。

设输出Jones矢量为：

[
\mathbf e

\begin{bmatrix}
E_x\
E_y
\end{bmatrix}.
]

如果系统最终只探测某一偏振方向：

[
I_p

\left|
\mathbf p^\dagger
\mathbf e
\right|^2,
]

那么原本表现为矢量方向误差的偏振扰动，会被投影为探测功率误差。

4. 模态选择性抑制

与上述放大机制相反，如果误差主要分布在系统无法接收的模态中，它可能在后续传播中被过滤。

因此：

误差传播不是一个单纯的数值累积过程，而是一个受系统物理选择机制控制的过程。

六、系统误差为什么不能简单相加？

如果每个元件对目标的误差贡献分别为：

[
\delta J_1,
\delta J_2,
\ldots,
\delta J_N,
]

在一阶近似下，系统总误差可以写为：

[
\delta J
\approx
\sum_{i=1}^{N}
\delta J_i.
]

但这并不等于各项绝对值之和：

[
\left|
\delta J
\right|
\neq
\sum_{i=1}^{N}
\left|
\delta J_i
\right|.
]

因为不同误差贡献可能具有不同符号或复相位。

两个局部误差可能相互增强：

[
\delta J_1\delta J_2>0,
]

也可能相互抵消：

[
\delta J_1\delta J_2<0.
]

因此，以下三种量必须严格区分。

1. 实际一阶误差估计

[
\widehat{\delta J}

\sum_{i=1}^{N}
\widehat{\delta J}_i.
]

它保留误差贡献之间的符号或相位关系，但可能因相互抵消而低估潜在风险。

2. 保守误差上界

由三角不等式可得：

[
\left|
\widehat{\delta J}
\right|
\leq
\sum_{i=1}^{N}
\left|
\widehat{\delta J}_i
\right|.
]

定义：

[
B_J

\sum_{i=1}^{N}
\left|
\widehat{\delta J}_i
\right|,
]

则 (B_J) 可以作为保守的一阶误差预算。

这种方法稳健，但在大量误差可能抵消时会过于保守。

3. 统计意义下的不确定度

如果局部误差被视为随机变量，且协方差矩阵为：

[
\boldsymbol{\Sigma}_{\theta},
]

系统目标的线性化方差可以表示为：

[
\sigma_J^2
\approx
\mathbf g_{\theta}^{\mathsf T}
\boldsymbol{\Sigma}{\theta}
\mathbf g{\theta},
]

其中：

[
\mathbf g_{\theta}

\frac{\partial J}
{\partial\boldsymbol{\theta}}.
]

展开后：

[
\sigma_J^2
\approx
\sum_i
g_i^2\sigma_i^2
+
2
\sum_{i<j}
g_ig_j
\operatorname{Cov}
(\theta_i,\theta_j).
]

如果各误差彼此独立，则协方差项为零：

[
\sigma_J
\approx
\sqrt{
\sum_i
g_i^2\sigma_i^2
}.
]

但如果误差之间存在相关性，就不能使用简单的平方和开方。

例如，同一温度漂移可能同时影响多个元件的折射率和尺寸；同一次坐标标定误差可能同时进入多个接口；同一个材料数据库偏差可能影响整个系统中的多个模型。

因此：

系统误差管理不仅需要知道每一项误差有多大，还需要知道误差之间是否相关。

不确定性量化的目标之一，正是计算不确定输入对目标响应的传播影响，并同时报告性能最佳估计及其变异或不确定程度，而不仅仅是给出一个确定性输出。

七、必须区分“误差”与“不确定性”

在系统可信度分析中，误差和不确定性经常被混用，但二者并不完全相同。

可以将系统中的偏差来源概括为：

[
\mathcal U

\mathcal U_{\mathrm{num}}
+
\mathcal U_{\mathrm{param}}
+
\mathcal U_{\mathrm{model}}
+
\mathcal U_{\mathrm{interface}}
+
\mathcal U_{\mathrm{exp}}.
]

其中：

• (\mathcal U_{\mathrm{num}})：数值离散与求解误差；

• (\mathcal U_{\mathrm{param}})：输入参数的不确定性；

• (\mathcal U_{\mathrm{model}})：模型形式不确定性；

• (\mathcal U_{\mathrm{interface}})：模型连接与数据转换的不确定性；

• (\mathcal U_{\mathrm{exp}})：验证实验中的测量不确定性。

数值误差通常可以通过提高离散分辨率逐渐降低。

参数不确定性通常来源于现实系统本身的波动，例如制造偏差和温度变化。

模型形式不确定性则来自数学模型对真实物理的不完整表达。它属于典型的认知不确定性，并不一定能通过继续细化网格消除；比较多个竞争模型或将低保真模型与更可靠的高保真模型对照，是评估这类不确定性的重要方法之一。

这一点对于光学CAE尤其重要。

假设一个标量模型已经达到极高的数值收敛精度：

[
\varepsilon_{\mathrm{num}}
\rightarrow0.
]

如果问题本身具有显著矢量效应，那么：

[
\varepsilon_{\mathrm{model}}
]

仍可能很大。

也就是说：

把错误的物理模型解得非常精确，并不会自动得到可信的物理结果。

因此，系统误差预算不能只包括网格误差、截断误差和迭代误差。

它还必须包括：

• 模型是否遗漏关键物理；

• 当前参数是否超出验证域；

• 模型接口是否改变了信息；

• 实验验证能否覆盖当前应用场景。

验证与确认框架正是通过区分数值实现是否正确、模型是否充分代表现实以及不确定性如何影响预测，逐步建立模型在特定使用场景中的可信度。

八、误差传播具有明显的非线性

前面的分析主要采用一阶线性化：

[
\delta J
\approx
\mathbf g^\mathsf T
\delta\boldsymbol{\theta}.
]

当误差足够小时，这种近似通常有效。

但在以下情形中，一阶近似可能不再充分：

• 系统靠近共振点；

• 系统靠近模式跃迁或截止条件；

• 参数变化导致模型适用域切换；

• 光场存在明显非线性传播；

• 目标函数本身不光滑；

• 误差改变了系统的拓扑或传播路径；

• 多个局部误差之间存在强耦合。

这时，需要进一步保留二阶项：

[
\delta J
\approx
\mathbf g^\mathsf T
\delta\boldsymbol{\theta}
+
\frac{1}{2}
\delta\boldsymbol{\theta}^{\mathsf T}
\mathbf H_J
\delta\boldsymbol{\theta},
]

其中：

[
\mathbf H_J

\frac{\partial^2J}
{\partial\boldsymbol{\theta}^2}
]

为目标函数的Hessian矩阵。

二阶项描述了不同误差源之间的相互作用。

例如：

[
\frac{\partial^2J}
{\partial\theta_i\partial\theta_j}
\delta\theta_i\delta\theta_j
]

表示第 (i) 个与第 (j) 个参数误差共同出现时，对系统目标产生的耦合影响。

因此，即使两个误差单独看来都不显著，同时出现时也可能产生不可忽略的系统效应。

这说明：

系统误差不是元件误差的静态清单，而是一种由系统状态决定的动态耦合结构。

九、什么是系统级误差预算？

传统工程中的预算思维通常是：

先确定系统允许的总误差，再把它分配给各个子系统。

设系统目标允许误差为：

[
\tau_J.
]

最简单的分配方式是：

[
\sum_{i=1}^{N}
\tau_{J,i}
\leq
\tau_J,
]

其中：

[
\tau_{J,i}
]

是分配给第 (i) 个元件或模型的目标误差额度。

但系统级物理光学中的误差预算不应是固定不变的。

因为某个模型对目标的敏感度：

[
\mathbf z_i
]

会随着以下因素变化：

• 当前系统结构；

• 工作波长；

• 入射角；

• 偏振态；

• 设计参数；

• 所选择的目标函数；

• 其他元件当前采用的模型层级。

因此，同一个元件在不同系统状态下可能拥有完全不同的误差预算。

例如，一块反射镜在普通成像系统中可能只需要控制表面形貌引起的波前误差。

但在高精度干涉系统中，同样的微小形貌偏差可能直接成为主要误差来源。

这意味着系统误差预算应当由以下两部分共同决定：

[
\tau_{J,i}

f
\left(
\text{Local Uncertainty},
\text{Goal Sensitivity}
\right).
]

更具体地，可以定义一个局部重要性指标：

[
I_i

\left|
\widehat{\delta J}_i
\right|

\left|
\left\langle
\mathbf z_i,
\widehat{\delta\boldsymbol{\Psi}}_i
\right\rangle
\right|.
]

再定义归一化贡献率：

[
\rho_i

\frac{
I_i
}{
\sum_{k=1}^{N}I_k
}.
]

则：

[
\rho_i
]

可以用于识别系统可信度预算中的主要贡献者。

当：

[
\rho_i
\gg\rho_j,
]

继续提高第 (j) 个模型的精度可能几乎不会改善系统结果，而提高第 (i) 个模型的保真度则可能显著降低最终目标误差。

因此，误差预算不只是一个限制。

它还是计算资源配置的依据。

十、可信度预算比误差预算更完整

单纯的误差预算仍有一个局限：

它通常把所有模型输出都视为可量化的。

但现实中，某些模型误差可能有充分的收敛数据和实验验证，而另一些模型误差可能只具有有限证据。

即使两项估计值相同：

[
\widehat{\delta J}_1

\widehat{\delta J}_2,
]

它们的证据强度也可能完全不同。

因此，系统还需要记录：

• 误差估计来自解析上界还是经验比较；

• 模型是否完成网格收敛验证；

• 是否与高保真模型比较；

• 是否有实验数据支持；

• 验证数据是否覆盖当前参数域；

• 不确定性分布是否有充分依据。

可以为第 (i) 个模型定义可信度等级：

[
c_i
\in
[0,1],
]

并进一步构造可信度加权风险：

[
R_i

\frac{
\left|
\widehat{\delta J}_i
\right|
}{
c_i+\epsilon
},
]

其中 (\epsilon) 为避免分母为零的小量。

当两个模型的预计目标误差相同，可信度较低的模型将获得更高的风险权重。

这反映了一个重要原则：

未被充分量化的误差，不应该因为暂时没有表现得很大，就被系统自动忽略。

NASA和Sandia等机构建立的仿真可信度框架都强调，可信预测不仅需要给出性能估计，还需要通过验证、确认和不确定性量化建立支撑该预测的证据。

因此，系统真正需要管理的，不只是：

[
\widehat{\delta J},
]

而是：

[
\left(
\widehat{\delta J},
c,
\mathcal E
\right),
]

其中：

• (\widehat{\delta J}) 表示预计误差；

• (c) 表示可信程度；

• (\mathcal E) 表示支持该判断的证据。

十一、智能数字模型如何参与系统误差管理？

上一篇文章中，我们将数字模型的动作集合表示为：

[
a_i
\in
{
\text{accept},
\text{refine},
\text{upgrade},
\text{validate},
\text{reject}
}.
]

现在，可以为这些动作建立更加明确的触发逻辑。

1. 接受当前模型

如果：

[
\left|
\widehat{\delta J}i
\right|
\leq
\tau{J,i},
]

并且：

[
c_i
\geq
c_{\min},
]

则系统可以接受当前模型。

2. 数值细化

如果主要误差来源为：

[
\widehat{\varepsilon}_i^{\mathrm{num}},
]

且模型物理形式仍然适用，则执行：

[
h_i\downarrow,
\qquad
p_i\uparrow,
]

即提高网格、采样或展开阶数。

3. 模型升级

如果主要误差来自：

[
\widehat{\varepsilon}_i^{\mathrm{model}},
]

则单纯细化数值离散没有意义。

系统应切换：

[
\mathcal M_i^{(L)}
\rightarrow
\mathcal M_i^{(H)}.
]

例如：

• 从标量模型升级为矢量模型；

• 从薄元件模型升级为体传播模型；

• 从局部周期近似升级为全结构求解；

• 从代理模型升级为全波模型。

4. 补充验证

如果预计误差不大，但：

[
c_i<c_{\min},
]

则系统不一定立即升级求解器，而可能调用：

• 高保真参考计算；

• 实验验证数据；

• 相邻参数点交叉验证；

• 竞争模型比较。

5. 拒绝给出可信结论

如果当前状态超出模型可信域：

[
\mathbf x_i
\notin
\Omega_i,
]

且没有可用的升级模型或验证证据，则系统应明确标记：

[
\text{Prediction Not Credible}.
]

这一步非常重要。

因为系统级仿真的成熟程度，并不只体现在它能够完成多少计算。

也体现在它是否能够拒绝没有证据支持的结论。

十二、误差传播链与电磁场传播链应当同时存在

传统光学CAE主要维护一条计算链：

[
\boldsymbol{\Psi}_0
\rightarrow
\boldsymbol{\Psi}_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
\boldsymbol{\Psi}_N.
]

系统级物理光学还需要维护第二条链：

[
\mathcal T_0
\rightarrow
\mathcal T_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
\mathcal T_N,
]

其中可信状态可以定义为：

[
\mathcal T_i

\left(
\widehat{\boldsymbol{\varepsilon}}_i,
\boldsymbol{\Sigma}_i,
c_i,
\mathcal E_i
\right).
]

这条链记录：

• 当前误差构成；

• 不确定性及其相关性；

• 当前可信度；

• 支撑可信度的验证证据。

于是，一个完整的数字模型不再只是：

[
\boldsymbol{\Psi}_i

\mathcal M_i
\left(
\boldsymbol{\Psi}_{i-1}
\right).
]

而是：

[
\left(
\boldsymbol{\Psi}_i,
\mathcal T_i
\right)

\mathfrak D_i
\left(
\boldsymbol{\Psi}{i-1},
\mathcal T{i-1},
J,
\tau_J
\right).
]

这意味着第 (i) 个数字模型在处理电磁场的同时，还需要更新系统可信状态。

最终，系统输出不再只是：

[
J.
]

而是：

[
\boxed{
\left(
J,,
\widehat{\delta J},,
c_J,,
\mathcal E_J
\right)
}
]

即：

• 系统预测值；

• 系统目标误差估计；

• 系统结果可信度；

• 支撑该结果的证据链。

从工程决策角度看，这四项信息共同构成了完整的仿真结果。

十三、误差传播最终改变的是模型调度逻辑

当系统能够计算：

[
\widehat{\delta J}_i

\left\langle
\mathbf z_i,
\widehat{\delta\boldsymbol{\Psi}}_i
\right\rangle
]

以后，它便可以按照系统目标影响，而不是局部场误差，对所有模型排序：

[
I_{(1)}
\geq
I_{(2)}
\geq
\cdots
\geq
I_{(N)}.
]

平台可以优先处理：

[
I_{(1)},
I_{(2)},
\ldots
]

对应的模型。

这时，所谓“自适应”不再只意味着：

• 自动细化某处网格；

• 自动增加某个展开阶数；

• 自动缩短时间步长。

它还意味着：

• 自适应选择元件物理模型；

• 自适应改变模型保真层级；

• 自适应分配误差预算；

• 自适应补充验证证据；

• 自适应决定计算何时已经足够。

目标导向自适应方法正是利用局部残差与对偶权重建立细化指标，使有限计算资源优先投入到影响目标量的区域，而不是平均降低全局解误差。

这为系统级物理光学提供了一个非常重要的启示：

自适应的对象不应只是网格，还可以是整个模型体系。

十四、从误差传播走向“系统级模型选择”

假设每一个元件拥有多个模型：

[
\mathbb M_i

\left{
\mathcal M_i^{(1)},
\mathcal M_i^{(2)},
\ldots,
\mathcal M_i^{(K_i)}
\right}.
]

每一种模型具有对应的：

• 计算成本 (C_i^{(k)})；

• 目标误差贡献 (\widehat{\delta J}_i^{(k)})；

• 可信度 (c_i^{(k)})。

系统需要决定模型组合：

[
\mathbf k

(k_1,k_2,\ldots,k_N).
]

于是，系统级模型选择可以表达为：

[
\min_{\mathbf k}
\sum_{i=1}^{N}
C_i^{(k_i)}
]

满足：

[
\left|
\widehat{\delta J}(\mathbf k)
\right|
\leq
\tau_J,
]

以及：

[
c_J(\mathbf k)
\geq
c_{\mathrm{required}}.
]

这不是传统意义上的求解器选择。

它是一个系统级受约束决策问题：

在目标误差和可信度满足要求的条件下，寻找计算成本最低的模型组合。

从这里可以看出，系统级物理光学并不是简单地让不同求解器连接起来。

它真正需要解决的是：

• 如何估计每个模型的局部误差；

• 如何计算误差对系统目标的影响；

• 如何处理误差之间的相关性和耦合；

• 如何根据可信度动态调整模型；

• 如何在成本与可信度之间进行系统优化。

这才是“智能数字模型”真正进入系统层面的时刻。

结语：系统真正传播的是物理，也传播信任

在传统光学软件中，电磁场从一个元件传递到另一个元件。

每个模型完成自己的计算，然后把结果交给下一个模型。

但在系统级物理光学中，这还不够。

因为一个场结果如果没有同时说明：

• 它来自什么物理假设；

• 它包含什么数值误差；

• 它是否位于模型可信域；

• 它会如何影响最终系统目标；

那么这个场只是一个数值状态，还不是一个可以被工程系统信任的物理状态。

因此，未来系统级平台需要同时维护两条传播链。

第一条是电磁场传播链：

[
\boldsymbol{\Psi}_0
\rightarrow
\boldsymbol{\Psi}_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
\boldsymbol{\Psi}_N.
]

第二条是可信度传播链：

[
\mathcal T_0
\rightarrow
\mathcal T_1
\rightarrow
\cdots
\rightarrow
\mathcal T_N.
]

前者告诉我们：

光在系统中发生了什么。

后者告诉我们：

我们为什么能够相信这一判断。

局部误差并不会自动成为系统误差。

只有当它经过系统传播，并与最终目标的敏感方向发生耦合时，它才真正影响工程决策。

因此，系统级误差管理的核心并不是把所有误差变小。

而是：

识别哪些误差正在改变系统目标，并优先控制这些误差。

这也意味着，一个真正成熟的系统级物理光学平台，最终优化的并不是每一个局部模型的精度。

它优化的是：

[
\boxed{
\text{在有限计算资源下，系统目标的可置信预测能力}
}
]

当平台能够回答：

• 哪一个元件正在主导系统误差；

• 哪一种误差正在被后续系统放大；

• 哪一个模型值得升级；

• 哪一项计算已经没有继续提高精度的价值；

• 当前结论是否具有充分的可信证据；

它就不再只是执行一条预先设定的仿真流程。

它开始真正理解：

整个光学系统的误差结构。