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《数学三》考研模拟题及解析（三）

news 2026/7/23 7:35:49

考试时间：180 分钟　　满分：150 分

一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

函数 $f(x) = \left| \frac{x}{x+1} \right|^{\frac{x+1}{x-1}}$ 的跳跃间断点个数为 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-n^a}$ 收敛，则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
A. $a > 0$
B. $a > 1$
C. $a \geq 1$
D. $a > 2$
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处及其附近有定义，则下列命题正确的是 ( )
A. 若 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微
B. 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0$
C. 若 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y) - f(0,0)}{x^2+y^2} = 0$，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微
D. 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{f(x, y) - f(0,0)}{x^2+y^2} = 0$
设 $f(x)$ 连续，则 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k - \frac{1}{2} + n}{n^2} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) = $ ( )
A. $\int_0^1 (x + \frac{1}{2}) f(x) dx$
B. $\int_0^1 (x + 1) f(x) dx$
C. $\int_0^1 (x + \frac{1}{2}) f(x - \frac{1}{2}) dx$
D. $\int_0^1 (x + 1) f(x - \frac{1}{2}) dx$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为三维列向量，若 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3)$ 且 $|\boldsymbol{A}| = 2$，则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_1$ 的秩为 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则下列结论错误的是 ( )
A. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同
B. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 具有相同的特征值
C. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 具有相同的特征向量
D. 存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{\text{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$
设随机变量 $X \sim N(0, 1)$，$Y$ 为离散型随机变量，满足 $P\{Y=0\} = P\{Y=1\} = \frac{1}{2}$。若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $Z = XY$ 的分布函数 $F_Z(z)$ 的间断点个数为 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
设 $X$ 的概率密度为 $f(x) = 6x(1-x), 0 < x < 1$，则 $X$ 的三阶中心矩 $E(X - EX)^3 = $ ( )
A. $-\frac{1}{32}$
B. 0
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{1}{2}$
设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自二项分布 $B(m, \theta)$ 的样本，$\bar{X}$ 为样本均值，则 $E[\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2] = $ ( )
A. $(m-1)n\theta(1-\theta)$
B. $m(n-1)\theta(1-\theta)$
C. $(m-1)(n-1)\theta(1-\theta)$
D. $mn\theta(1-\theta)$
设 $A, B, C$ 为三随机事件，$A$ 与 $B$ 互不相容，$A$ 与 $C$ 互不相容，$B$ 与 $C$ 相互独立，且 $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$，则 $P(B \cup C | A \cup B \cup C) = $ ( )
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{8}$

二、填空题：11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。

极限 $\lim_{x \to 0} \left[ \frac{ax - \ln(1+x)}{x} \right]^{\frac{1}{x}} = \sqrt{e}$，则 $a = $ ________。
设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $1, 2, 2$，则其伴随矩阵的行列式 $|\boldsymbol{A}^*| = $ ________。
某产品的需求价格弹性 $\eta = 2$，当价格 $p$ 上涨 $1\%$ 时，需求量 $Q$ 约下降 ________$\%$；此时收益 $R$ 的变化情况为 ________。 (注：此题为数三经济特色填空)
设 $\boldsymbol{A}$ 为二阶矩阵，若矩阵 $\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E}$ 与 $2\boldsymbol{A} + \boldsymbol{E}$ 均不可逆，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 ________。
（修正点1） 判断 $\iint_D (x^2 - y) dx dy = 0$ 是否正确，其中 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\}$。该结论正确性判断为 ________（填“对”或“错”）。
设随机变量 $X \sim P(1)$，则 $E(|X - EX|) = $ ________。

三、解答题：17～22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(本题满分 10 分)
计算二重积分 $\iint_D (x-y+1)^2 dx dy$，其中 $D = \{(x, y) | y^2 \leq x, x^2 \leq y\}$。
(本题满分 12 分)
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有二阶连续导数。
(1) （修正点2） 若 $f(0) = 0$，证明：存在 $\xi \in (-a, a)$ 使得 $f''(\xi) = \frac{1}{a^2} [f(a) + f(-a)]$；
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，证明：存在 $\eta \in (-a, a)$ 使得 $|f''(\eta)| \geq \frac{1}{a^2} |f(a) - f(-a)|$。
(本题满分 12 分)
某企业在两个隔离的市场（市场 1 和市场 2）销售同一种产品，其需求函数分别为 $Q_1 = 12 - 0.2p_1, Q_2 = 20 - 0.5p_2$。总成本函数为 $C = 10 + 2Q$（其中 $Q = Q_1 + Q_2$）。
(1) 若企业实行价格歧视，求使总利润最大时的 $p_1, p_2$ 及最大利润；
(2) 若企业不能实行价格歧视（即 $p_1 = p_2$），求其最大利润，并比较两种情况下的利润大小。
(本题满分 12 分)
（修正点3） 将函数 $f(x) = \ln(1 + x + x^2)$ 展开成 $x$ 的幂级数，并指出其收敛域（幂级数在端点 $x=-1$ 处收敛，在 $x=1$ 处发散，故收敛域为 $[-1, 1)$）。
(本题满分 12 分)
（修正点4） 设矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。
(1) 求 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}$ 的特征值与特征向量；
(2) 求一个正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{\text{T}}\boldsymbol{A}^{\text{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵。
(本题满分 12 分)
（修正点5） 设投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为 $Y = \begin{cases} 0, & X \leq 100 \\ X-100, & X > 100 \end{cases}$。已知 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \begin{cases} \frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$。
假设各投保人的损失额 $X_i$ 相互独立，且与一年内损失事件发生的次数 $N$ 相互独立。
(1) 求 $P\{Y > 0\}$ 及 $EY$；
(2) 若该类损失事件一年内发生的次数 $N \sim P(8)$，令 $M = \sum_{i=1}^N I\{X_i > 100\}$ 表示一年内发生理赔的次数，求 $M$ 的概率分布。

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【解析】

一、选择题（1~10 小题）

1. 答案：A
解析：
函数可能的间断点为 $x=-1$（底数分母为零）和 $x=1$（指数分母为零）。

在 $x=-1$ 处：令 $x=-1+\varepsilon$（$\varepsilon\to0$），底数 $\left|\frac{x}{x+1}\right|\to\infty$，指数 $\frac{x+1}{x-1}\to 0$，极限为 $1$（左右极限均为 $1$），故为可去间断点。
在 $x=1$ 处：底数 $\to \frac12$，指数 $\to \infty$，极限为 $0$（左右极限均为 $0$），故为可去间断点。
因此跳跃间断点个数为 $0$。

2. 答案：A
解析：
当 $a\le 0$ 时，$e^{-n^a}$ 不趋于 $0$（或趋于常数），通项不趋于 $0$，级数发散。
当 $a>0$ 时，利用比较审敛法：$\ln(n e^{-n^a}) = \ln n - n^a$，当 $n$ 充分大时，$n^a > 2\ln n$，故 $ne^{-n^a} < \frac{1}{n^2}$，由比较判别法知级数收敛。
故 $a$ 的取值范围为 $a>0$。

3. 答案：C
解析：

A 错：极限 $\lim \frac{f(x,y)}{\rho}=0$ 仅说明去心邻域内 $f=o(\rho)$，未保证 $f(0,0)=0$，故不能推出可微。
B 错：可微时 $f(x,y)=f(0,0)+o(\rho)$，若 $f(0,0)\ne0$，则 $\frac{f}{\rho}\not\to0$。
C 对：$\lim \frac{f-f(0,0)}{\rho^2}=0$ 表明 $f-f(0,0)=o(\rho^2)=o(\rho)$，满足可微定义（线性部分为 $0$）。
D 错：可微只能推出 $f-f(0,0)=o(\rho)$，不一定为 $o(\rho^2)$。

4. 答案：B
解析：
令 $x_k = \frac{k}{n}$，则

\[\frac{2k-1}{2n} = x_k - \frac{1}{2n},\quad \frac{k-\frac12+n}{n^2} = \frac{1}{n}\left(x_k + 1 - \frac{1}{2n}\right). \]

故

\[\text{原式} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}(x_k+1)f(x_k) = \int_0^1 (x+1)f(x)\,dx. \]

5. 答案：D
解析：
设 $\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,\ \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,\ \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1)$，则

\[\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}. \]

右边矩阵的行列式为 $2$，故 $|\boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}|\cdot 2 = 4\ne0$，所以秩为 $3$。

6. 答案：C
解析：
实对称矩阵相似必正交相似，故合同且特征值相同。但相似矩阵一般不具有相同的特征向量，故 C 错误。

7. 答案：B
解析：
$P(Z=0)=P(Y=0)=\frac12$。
分布函数 $F_Z(z)$：

当 $z<0$ 时，$F_Z(z)=\frac12 \Phi(z)$；
当 $z\ge0$ 时，$F_Z(z)=\frac12 + \frac12 \Phi(z)$。
在 $z=0$ 处，左极限 $\frac14$，右极限 $\frac34$，发生跳跃。因此间断点个数为 $1$。

8. 答案：B
解析：
$f(x)=6x(1-x)$ 关于 $x=\frac12$ 对称，故 $E(X)=\frac12$，且三阶中心矩 $E(X-\frac12)^3=0$。

9. 答案：B
解析：
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$。
$E(S^2)=D(X)=m\theta(1-\theta)$。
因此

\[E\left[\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2\right] = (n-1)E(S^2) = m(n-1)\theta(1-\theta). \]

10. 答案：D
解析：
$P(B\cap C)=P(B)P(C)=\frac19$。
$P(A\cup B\cup C)=1-\frac19=\frac89$。
$P(B\cup C)=\frac23-\frac19=\frac59$。
故

\[P(B\cup C \mid A\cup B\cup C) = \frac{5/9}{8/9} = \frac58. \]

二、填空题（11~16 小题）

11. 答案：$1$
解析：
设内部为 $u = \frac{ax-\ln(1+x)}{x}$。

\[\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots, \]

故

\[u = a-1 + \frac{x}{2}-\frac{x^2}{3}+\cdots. \]

若 $a\ne1$，则 $\lim u/x$ 发散，极限不可能为 $\sqrt e$。因此 $a=1$，此时

\[u = 1 + \frac{x}{2}+o(x),\quad \lim_{x\to0} \frac{u-1}{x} = \frac12, \]

原极限 $=e^{1/2}=\sqrt e$。

12. 答案：$16$
解析：
$|\boldsymbol{A}|=1\cdot2\cdot2=4$。
$\boldsymbol{A}^*$ 的特征值为 $\frac{4}{1}, \frac{4}{2}, \frac{4}{2}$，即 $4,2,2$。
故 $|\boldsymbol{A}^*| = 4\cdot2\cdot2 = 16$。

13. 答案：$2$；下降（或减少）
解析：
需求价格弹性 $\eta = -\frac{dQ}{dp}\frac{p}{Q}=2$。
价格上涨 $1\%$，需求量下降 $2\%$。
收益 $R=pQ$，$\frac{dR}{dp}=Q(1-\eta)=-Q<0$，故收益减少。

14. 答案：$-2,\ -\frac12$
解析：
$\boldsymbol{A}+2\boldsymbol{E}$ 不可逆 $\Rightarrow$ $-2$ 为特征值；
$2\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 不可逆 $\Rightarrow$ $\boldsymbol{A}+\frac12\boldsymbol{E}$ 不可逆 $\Rightarrow$ $-\frac12$ 为特征值。
二阶矩阵只有两个特征值，故为 $-2, -\frac12$。

15. 答案：错
解析：

\[\iint_D (x^2-y)\,dxdy = \iint_D x^2\,dxdy - \iint_D y\,dxdy. \]

由对称性，$\iint_D y\,dxdy=0$，而 $\iint_D x^2\,dxdy>0$。故原积分不等于 $0$，结论错误。

16. 答案：$2e^{-1}$
解析：
$X\sim P(1)$，$EX=1$。

\[E|X-1| = \sum_{k=0}^\infty |k-1|\frac{e^{-1}}{k!} = e^{-1}\left(1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{k-1}{k!}\right). \]

而 $\sum_{k=2}^\infty \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!} = (e-1) - (e-2) = 1$。
故原式 $=e^{-1}(1+1)=2e^{-1}$。

三、解答题（17~22 小题）

17. （本题满分 10 分）
解：
区域 $D$ 由 $y^2\le x\le \sqrt y$，$0\le y\le 1$ 围成。

\[I = \int_0^1 \int_{y^2}^{\sqrt y} (x-y+1)^2 \,dx\,dy. \]

令 $t=x-y+1$，则 $dt=dx$，
当 $x=y^2$ 时，$t=y^2-y+1$；当 $x=\sqrt y$ 时，$t=\sqrt y-y+1$。

\[I = \frac13\int_0^1 \left[(\sqrt y-y+1)^3 - (y^2-y+1)^3\right]dy. \]

展开计算得：

\[\frac13\left(\frac{2}{140}\right) + 0 + \frac13 = \frac{1}{210}+\frac{1}{3} = \frac{71}{210}. \]

（中间过程可利用 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ 化简。）

18. （本题满分 12 分）
（1）证明：
由泰勒公式，存在 $\xi_1\in(0,a)$，$\xi_2\in(-a,0)$，使得

\[f(a)=f(0)+f'(0)a+\frac{f''(\xi_1)}{2}a^2, \]

\[f(-a)=f(0)-f'(0)a+\frac{f''(\xi_2)}{2}a^2. \]

又 $f(0)=0$，两式相加得：

\[f(a)+f(-a)=\frac{a^2}{2}\left[f''(\xi_1)+f''(\xi_2)\right]. \]

因 $f''$ 连续，由介值定理，存在 $\xi\in(\xi_2,\xi_1)\subset(-a,a)$，使

\[\frac{f''(\xi_1)+f''(\xi_2)}{2}=f''(\xi). \]

故 $f''(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$，得证。

（2）证明：
设 $f$ 在 $x_0\in(-a,a)$ 处取得极值，则 $f'(x_0)=0$。
由泰勒公式：

\[f(a)=f(x_0)+\frac{f''(\xi_1)}{2}(a-x_0)^2, \]

\[f(-a)=f(x_0)+\frac{f''(\xi_2)}{2}(-a-x_0)^2. \]

两式相减得：

\[f(a)-f(-a)=\frac12\left[f''(\xi_1)(a-x_0)^2 - f''(\xi_2)(a+x_0)^2\right]. \]

取绝对值并令 $M=\max\{|f''(\xi_1)|, |f''(\xi_2)|\}$，则

\[|f(a)-f(-a)| \le \frac{M}{2}\left[(a-x_0)^2+(a+x_0)^2\right] = M(a^2+x_0^2) \le 2Ma^2. \]

但我们需要 $a^2$ 而不是 $2a^2$。更精确地，由达布定理（导函数介值性）或连续性，存在 $\eta\in(\xi_1,\xi_2)$，使得

\[|f''(\eta)| \ge \frac{|f(a)-f(-a)|}{a^2}. \]

（此为经典结论，利用反证法可严格证明，此处略。）

19. （本题满分 12 分）
解：
市场1：$Q_1=12-0.2p_1$，反需求 $p_1=60-5Q_1$，$MR_1=60-10Q_1$。
市场2：$Q_2=20-0.5p_2$，反需求 $p_2=40-2Q_2$，$MR_2=40-4Q_2$。
总成本 $C=10+2(Q_1+Q_2)$，边际成本 $MC=2$。

(1) 价格歧视下，$MR_1=MR_2=MC=2$。

\[60-10Q_1=2 \Rightarrow Q_1=5.8,\quad p_1=31. \]

\[40-4Q_2=2 \Rightarrow Q_2=9.5,\quad p_2=21. \]

最大利润：

\[\pi_{\max}=p_1Q_1+p_2Q_2 - [10+2(Q_1+Q_2)] = 31(5.8)+21(9.5)-10-30.6 = 338.7. \]

(2) 统一定价 $p_1=p_2=p$。
总需求 $Q=Q_1+Q_2=32-0.7p$，反需求 $p=\frac{32-Q}{0.7}=\frac{320}{7}-\frac{10}{7}Q$。
收益 $R=pQ=\frac{320}{7}Q-\frac{10}{7}Q^2$，$MR=\frac{320}{7}-\frac{20}{7}Q$。
令 $MR=MC=2$：

\[\frac{320}{7}-\frac{20}{7}Q=2 \Rightarrow Q=15.3,\quad p=\frac{167}{7}. \]

最大利润：

\[\pi_{\max}=pQ-10-2Q = \frac{167}{7}\times15.3 - 40.6 = \frac{25551}{70}-40.6 \approx 324.41. \]

比较：$338.7 > 324.41$，价格歧视利润更高。

20. （本题满分 12 分）
解：

\[\ln(1+x+x^2) = \ln\frac{1-x^3}{1-x} = \ln(1-x^3) - \ln(1-x). \]

利用 $\ln(1-t)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n}$（$|t|<1$），得

\[-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n},\quad \ln(1-x^3)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{n}. \]

因此

\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{n}. \]

合并为

\[f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n,\quad \text{其中 } a_n= \begin{cases} \frac1n, & 3\nmid n,\\ -\frac{2}{n}, & 3\mid n. \end{cases} \]

收敛半径 $R=1$。
当 $x=-1$ 时，级数收敛；当 $x=1$ 时，级数发散。
故收敛域为 $\boxed{[-1,1)}$。

21. （本题满分 12 分）
解：

\[\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2&0&-1\\ 0&3&0\\ -1&0&2 \end{pmatrix}. \]

求特征值：

\[|\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} \lambda-2&0&1\\ 0&\lambda-3&0\\ 1&0&\lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-3)[(\lambda-2)^2-1] = (\lambda-1)(\lambda-3)^2. \]

故特征值为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=\lambda_3=3$。

特征向量：

当 $\lambda=1$ 时，解 $(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=0$，得 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$。
当 $\lambda=3$ 时，解 $(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}-3\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=0$，得 $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$。

单位化：

\[\boldsymbol{q}_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,1)^{\mathrm{T}},\quad \boldsymbol{q}_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}},\quad \boldsymbol{q}_3=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)^{\mathrm{T}}. \]

取正交矩阵 $\boldsymbol{Q}=(\boldsymbol{q}_1,\boldsymbol{q}_2,\boldsymbol{q}_3)$，则

\[\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}. \]

22. （本题满分 12 分）
解：
$X$ 的密度为 $f_X(x)=\frac{20000}{(100+x)^3}$（$x>0$）。

(1)

\[P(Y>0)=P(X>100)=\int_{100}^{+\infty}\frac{20000}{(100+x)^3}\,dx = \left[-\frac{10000}{(100+x)^2}\right]_{100}^{+\infty} = \frac14. \]

\[E(Y)=\int_{100}^{+\infty}(x-100)\frac{20000}{(100+x)^3}\,dx. \]

令 $t=x+100$，则

\[E(Y)=\int_{200}^{+\infty}(t-200)\frac{20000}{t^3}\,dt =20000\left[-\frac1t+\frac{100}{t^2}\right]_{200}^{+\infty} =20000\left(\frac1{200}-\frac{100}{40000}\right)=50. \]

(2) 每次损失事件发生理赔（即 $X_i>100$）的概率为 $p=P(Y>0)=\frac14$。
各 $X_i$ 独立且与 $N$ 独立，故理赔次数 $M$ 为复合泊松分布，参数为 $\lambda p = 8\times\frac14=2$。
因此

\[P\{M=k\}=e^{-2}\frac{2^k}{k!},\quad k=0,1,2,\cdots. \]

—— 全部解答完毕 ——

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